diff --git a/docs/.vuepress/public/js/bezier_app.js b/docs/.vuepress/public/js/bezier_app.js
index 75a3d99..b21cde1 100644
--- a/docs/.vuepress/public/js/bezier_app.js
+++ b/docs/.vuepress/public/js/bezier_app.js
@@ -1,8 +1,8 @@
class QuadBezierLine {
- constructor(_p0, _p1, _p2, _step, _uniformSpeed) {
+ constructor(_p0, _p1, _p2, _step, _uniformSpeedMode) {
this.step=_step;
this.points=[];
- this.uniformSpeed=_uniformSpeed;
+ this.uniformSpeedMode=_uniformSpeedMode;
this.updatePoints(_p0, _p1, _p2);
}
@@ -25,16 +25,16 @@ class QuadBezierLine {
return (temp5 + temp6) / (8 * Math.pow(this.A, 1.5));
}
- //X(n+1) = Xn - F(Xn)/F'(Xn)
- invertLength(t, len) {
- let t1 = t, t2;
+ //u'=u-(Length(u)-len)/Speed(u)
+ invertLength(u0, len) {
+ let u1 = u0, u2;
do {
- t2 = t1 - (this.length(t1) - len) / this.speed(t1);
- if (Math.abs(t1 - t2) < 0.000001)
+ u2 = u1 - (this.length(u1) - len) / this.speed(u1);
+ if (Math.abs(u1 - u2) < 0.000001)
break;
- t1 = t2;
+ u1 = u2;
} while (true);
- return t2;
+ return u2;
}
updatePoints(_p0, _p1, _p2) {
@@ -57,8 +57,7 @@ class QuadBezierLine {
for (let index = 1; index < this.step; index++) {
let t = index / this.step;
- if(this.uniformSpeed) {
- //根据 L 函数的反函数，求得 l 对应的 t 值
+ if(this.uniformSpeedMode) {
t = this.invertLength(t, totalLength*t);
}
diff --git a/docs/blog/2025/03/BezierLine.md b/docs/blog/2025/03/BezierLine.md
index a77c21c..afe75a5 100644
--- a/docs/blog/2025/03/BezierLine.md
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@@ -4,9 +4,9 @@ tags: 程序 算法
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# 匀速贝塞尔曲线运动的实现
-二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点$P_0$, $P_1$, $P_2$，用$B(t)$表示该条曲线
+贝塞尔曲线([Bézier curve](https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve))是一种常用的曲线，以最简单的二次贝塞尔曲线为例，通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点$P_0$, $P_1$, $P_2$，用$B(t)$表示该条曲线
$$
-\boldsymbol{B}(t)=(1-t)^2 \boldsymbol{P_0}+2t(1-t) \boldsymbol{P_1}+t^2 \boldsymbol{P_2}
+\boldsymbol{B}(t)=(1-t)^2 \boldsymbol{P_0}+2t(1-t) \boldsymbol{P_1}+t^2 \boldsymbol{P_2}, t\in[0, 1]
$$
用一个动画来演示，可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程
@@ -17,7 +17,7 @@ $$
可以看出中间的点较为密集，而两边则较为稀疏。
-如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢？
+如何得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现NPC匀速在这条路径上运动？
首先需要求得$B(t)$相对于$t$的速度公式$s(t)$
$$
s(t)=\sqrt{B_{x}^{'}(t)^2+B_{y}^{'}(t)^2}
@@ -44,21 +44,23 @@ L(t)&=\int_0^t\sqrt{Ax^2+Bx+C}dx\\
&\quad+(B^2-4AC)\left[ln(B+2\sqrt{AC})-ln\left(B+2At+2\sqrt{A}\sqrt{At^2+Bt+C}\right)\right]\biggr)
\end{aligned}
$$
-特别当$t=1.0$时，$L(1.0)$就是这条曲线的总长度。
-设$t'$是能够使$L$实现匀速运动的自变量，那么此时曲线长度应该满足线性增长，也就是
+特别当$t=1.0$时，$L(1.0)$就是这条曲线的总长度。
+设$u$是能够使$L(u)$实现匀速运动的自变量，那么此时曲线长度应该满足随着时间$t$线性增长，也就是
$$
-L(t')=L(1.0)t\tag{1}
+L(u)=L(1.0)t\tag{1}
$$
-也就是$t'=L^{-1}(L(1.0)t)$，由于$L(t)$函数非常复杂，直接求其逆函数的解析解几乎不可能，还好我们知道它的导数为$s(t)$，在实际使用中，可以使用[牛顿切线法](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method)获得$t'$的数值解。
-设$L_t=L(1.0)t$，视$t'$为未知数，根据公式1有以下方程
+也就是$u=L^{-1}(L(1.0)t)$，由于$L(t)$函数非常复杂，直接求其逆函数的解析解几乎不可能，还好我们知道它的导数为$s(t)$，在实际使用中，可以使用[牛顿切线法](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method)获得$u$的数值解。
+视$u$为未知数，根据公式1有以下方程
$$
-L(t')-L_t=0
+F(u)=L(u)-L(1.0)t=0
$$
-根据牛顿切线法，求解的迭代公式为:
+根据牛顿切线法，求解$u$的迭代公式为:
$$
-t'_{n+1}=t'_n-\frac{L(t'_n)-L_t}{s(t'_n)}
+\begin{aligned}
+u_{n+1}&=u_n-\frac{F(u_n)}{F'(u_n)}\\&=u_n-\frac{L(u_n)-L(1.0)t}{s(u_n)}
+\end{aligned}
$$
-由于$t$和$t'$相差不大，可以设$t_0=t$来开始求解，以下是修正后的匀速贝塞尔曲线
+由于$t$和$u$相差不大，可以设$u_0=t$来开始求解，以下是修正后的匀速贝塞尔曲线