更新文章

2025-02-22 22:42:02 +08:00
parent f151dc08b2
commit f7916e62ec
116 changed files with 39545 additions and 13 deletions
@@ -0,0 +1,36 @@
+# 抛币协议
+----
+## 1. 使用单向函数
+
+1. Alice和Bob各自选择一个随机字符串，比如"ljngjkrjgnfdudiudd" 和 "gfdgdfjkherfsfsd"
+2. Alice随机生成一个抛硬币的结果，比如"tail"
+3. Bob把自己的随机字符串发送给Alice
+4. Alice把抛币结果和两个人的随机字符串合并成一个新的字符串，例如"tail ljngjkrjgnfdudiudd gfdgdfjkherfsfsd"，并且把这个字符串的hash值"59dea408d43183a3937957e71a4bcacc616d9cbc"发送给Bob
+5. Alice问Bob: “你猜是head还是tail"?
+6. Bob猜一个结果，比如"head"
+7. Alice告诉告诉Bob他猜错了，并且出示完整的字符串
+
+## 2. 使用满足交换律的加密算法
+1. Alice和Bob通过别的协议协商出各自的RSA密钥对$\{e_a,d_a,n\}, \{e_bb,d_b,n\}$, 满足$e_ad_a\equiv e_bd_b\equiv1\pmod{\phi(pq)}$
+2. Alice生成两份消息$M_1$和$M_2$，一份表示"head"，一份表示"tail"，这些字符串还要包含双方协商好的特定字符串和随机字符串，以满足后期的验证
+3. Alice使用自己的公钥加密这两份消息，得到$E_a(M_1),E_a(M_2)$，并且以随机的顺序发给Bob
+4. Bob无法识别消息的内容，随机选择其中的一个消息$M$，并且用自己的公钥加密得到$E_b(E_a(M))$，然后发送给Alice
+5. Alice无法识别消息中的内容，用自己的私钥解密该消息，得到$D_a(E_b(E_a(M)))=E_b(M)$，然后发送回Bob
+6. Bob用自己的私钥解密消息，得到$D_b(E_b(M)))=M$，于是Bob得到了抛币的结果并发送给Alice
+7. 双方交换各自的密钥对，以验证过程双方有没有欺诈
+
+## 3. 使用二次剩余
+1. Alice选择两个质数$p,q$，计算$n=qp$，然后将$n$发送给Bob
+2. Bob随机一个数字$x\lt n/2$，计算$y=x^2 \mod n$，并发送$y$给Alice
+3. Alice求解同余方程$x^2\equiv y\pmod{pq}$，得到两对解，分别是$\pm x_1, \pm x_2$
+4. Alice猜测Bob所随机的数字属于哪组解，并发送该组解$\pm x'$给Bob
+5. Bob根据结果判断，如果$x=x'$或者$x=n-x'$，表示Alice猜对了，否则就是猜错了
+6. Bob把结果告诉Alice，并出示$x$
+7. Alice把$p,q$告诉Bob验算
+
+## 4. 使用雅可比符号
+1. Bob随机选择两个质数，满足$p\equiv3\pmod 4, q\equiv 3\pmod 4$, 计算$n=pq$发送给Alice
+2. Alice随机选择一个数字$x$, 满足$\gcd(x,n)=1$， 计算$y=x^2 \mod n$，把$y$发送给Bob
+3. Bob猜测$J(x,n)$的数值$b\in\{-1,1\}$，并且把$b$发送给Alice
+4. Alice向Bob出示$x$
+5. Bob验证$y\equiv x^2\pmod{n}$，并向Alice出示$p,q$
@@ -0,0 +1,5 @@
+# 密码学
+
+* [RSA](./rsa.md)
+* [抛币协议](./flip_coin.md)
+* [智能扑克](./mental_poker.md)
@@ -0,0 +1,11 @@
+# 智能扑克协议
+
+----
+## 1. SRA协议
+假设Alice和Bob要玩一局扑克牌游戏，开局的时候他们都要一副牌（52张）中各抽取5张，那么过程就是这样：
+1. Alice负责洗牌，她首先生成一个长度为52的数组，数组的每个元素表示一张牌，然后用她的加密算法$E_A$对这些元素进行加密，再把数组顺序打乱（洗牌）之后$E_A(M)$发送给下Bob
+2. Bob收到这些牌之后并不认识，因为上面都有Alice的锁，所以他只能随机挑出5张牌，用自己的加密算法之后生成$E_B(E_A(M)))$送给Alice
+3. Alice收到这5张牌之后用自己的解密函数解密，生成$D_A(E_B(E_A(M))))=E_B(M)$送还给Bob
+4. Bob收到后进行解密，得到$D_B(E_B(M))=M$作为自己的牌
+5. 最后Bob从剩下的47张牌中随机挑出5张送给Alice，Alice直接解密得到$D_A(E_A(M))=M$作为她的牌
+6. 发牌结束后双方交换密钥以验证此过程没有作弊 
@@ -0,0 +1,139 @@
+# RSA算法
+-----
+
+## 1. 历史
+1977年，三位数学家RonRivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。
+
+## 2. 密钥生成
+1. 随机选择两个不相等的质数$p$和$q$
+2. 计算$n=qp, \phi(n)=(p-1)(q-1)$
+3. 选择一个整数$e$,满足$1\lt e \lt\phi(n), \gcd(e,\phi(n))=1$
+4. 计算$e$的模反元素$d$，满足$ed\equiv1\pmod {\phi(n)}$
+5. 公钥为$(e,n)$，密钥为$(d,n)$
+
+## 3. 加密和解密
+1. 加密明文$M, M\lt n$, 
+$$
+C=E(M)=M^e\pmod{n}
+$$
+2. 解密密文$C$, 
+$$
+M=D(C)=C^d\pmod{n}
+$$
+
+## 4. 举例
+1. 爱丽丝选择了$p=61,q=53$, 计算
+$$
+\begin{split}
+n&=pq=61\times53=3233\\
+\phi(n)&=(p-1)(q-1)=360\times52=3120
+\end{split}
+$$
+
+2. 爱丽丝选择$e=17$，解同余方程
+$$
+17\times d\equiv1\pmod{3120}
+$$
+使用扩展欧几里得算法解方程
+$$
+17d+3120y=1
+$$
+得到$d=2753$
+
+3. 公钥为$(17,3233)$, 密钥为$(2753,3233)$
+
+4. 鲍勃使用公钥加密明文'A'=65
+$$
+E(65)=65^{17}\pmod{3233}=2790
+$$
+5. 爱丽丝用私钥解密
+$$
+D(2790)=2790^{2753}\pmod{3233}=65
+$$
+
+## 5. 证明
+根据加密规则$M^e \equiv C\pmod {n}, C$可以写成$C=M^e-kn$
+下面证明下面的公式成立
+$$
+C^d \equiv M\pmod {n}
+$$
+将C代入要我们要证明的那个解密规则：
+$$
+(M^e-kn)^{d}\equiv M\pmod {n}
+$$
+它等同于求证
+$$
+M^{ed}\equiv M\pmod {n}
+$$
+由于
+$$
+ed\equiv1\pmod {\phi(n)}
+$$
+所以
+$$
+ed=h\phi(n)+1
+$$
+将ed代入得到：
+$$
+M^{h\phi(n)+1}\equiv M\pmod{n}
+$$
+接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
+#### 5.1 $M$与$n$互质 
+根据欧拉定理，此时
+$$
+M^{\phi(n)}\equiv 1\pmod{n}
+$$
+得到
+$$
+{(M^{\phi(n)})}^h\times M\equiv M\pmod{n}
+$$
+原式得到证明。
+
+#### 5.2 $M$与$n$不是互质关系
+此时，由于$n$等于质数$p$和$q$的乘积，所以$M$必然等于$kp$或$kq$。
+以$M = kp$为例，考虑到这时$k$与$q$必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
+$$
+{(kp)}^{q-1}\equiv 1\pmod{q}
+$$
+进一步得到
+$$
+((kp)^{q-1})^{h(p-1)}\times kp\equiv kp \pmod{q} 
+$$
+即
+$$
+(kp)^{ed}\equiv kp \pmod{q}
+$$
+将它改写成下面的等式
+$$
+(kp)^{ed}=tq+kp
+$$
+这时$t$必然能被$p$整除，即 $t=t'p$
+$$
+(kp)^{ed}=t'pq+kp
+$$
+因为 $m=kp, n=pq$，所以
+$$
+M^{ed} \equiv M\pmod {n}
+$$
+原式得到证明。
+
+## 6. 密钥对的个数
+对于选定的$n=pq$，能够产生的密钥对$\{e,d,n\}$有多少个？
+
+由于$ed\equiv1\pmod{\phi(n)}$，所以$\gcd(e,\phi(n))=1$，而且$1\lt e\lt \phi(n)$，所以$e$的个数是和$\phi(n)$互质的数的个数，也就是$e$有$\phi(\phi(n))$个
+对于$d$，由于$ed\equiv1\pmod{\phi(n)}$，当$e$确定时，方程$ex\equiv1\pmod{\phi(n)}$在$1\lt x\lt \phi(n)$有且只有一个解，所以密钥对$\{e,d,n\}$的个数为$\phi(\phi(n))$个
+
+
+比如$p=13,q=17$，那么$\phi(n)=12\times 16=2^6\times 3$,
+$\phi(\phi(n))=\phi(2^6)\times\phi(3)=2^5\times2=64$
+所以一共有64对密钥
+
+## 7. 交换律
+当通信的双方使用模数相等的RSA算法时，RSA算法满足交换律，也就是说Alice使用的密钥为$\{e_1,d_1,n\}$, Bob使用的密钥对为$\{e_2,d_2,n\}$，满足
+$$
+e_1d_1\equiv e_2d_2\equiv 1\pmod{\phi(n)}
+$$
+那么
+$$
+E_B(E_A(M))=E_A(E_B(M))
+$$