jinchao/thejinchao.github.io
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Packages Projects Releases Wiki Activity

更新文章

Browse Source
This commit is contained in:
jinchao
2025-02-22 22:42:02 +08:00
parent f151dc08b2
commit f7916e62ec
116 changed files with 39545 additions and 13 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
docs/note/math/group.md
+38
View File
@@ -0,0 +1,38 @@
# 群\(Group\)
---
## 群的定义
群\([Group](https://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29)\)是一个对象集合G，并且包含了一种运算○，定义如下
集合$G$和运算$\circ$构成，一起成为群$(G,\circ)$，前提时满足下面的条件
1. **封闭律**：$\forall a,b \in G$，有$a\circ b\in G$
2. **结合律**：$\forall a,b,c \in G$，有$a\circ(b\circ c) = (a\circ b)\circ c$
3. **单位元律**：存在唯一元素$e\in G$，使得$\forall a \in G$，均有$a\circ e=e\circ a=a$，元素$e$成为单位元
4. **可逆律**：$\forall a \in G$，存在$\exists a^{-1}\in G$，使得$a \circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$，其中$a^{-1}$称为$a$的逆元
在表示群$(G,\circ)$时，通常省略运算符号，用$G$表示
## 阿贝尔群
如果群中的元素满足交换律，也就是对所有的$a,b\in G$,均有$a\circ b=b\circ a$,那么该群称为阿贝尔群（[Abelian group](https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_group)\)
## 重复运算的简化
令$G$是运算$\circ$下的一个群，那么对于任一元素$a\in G$，非负整数$i\in\mathbb{N}$, a和自己做i次$\circ$运算,可以表达为$a^{i}\in G$, $a^{i}=a\circ a\circ a\circ \ldots\circ a$，对于加法群，$a^i=a\times i$
## 常用群
1. **整数群**: 整数集$\mathbb{Z}$在加法下的群$(\mathbb{Z},+)$，其中$e=0,a^{-1}=-a$,同样
2. **有理数群**: 可以表达为两个整数的商的数称为有理数群，用$\mathbb{Q}$表示，其他还有自然数群$\mathbb{N}$, 实数群$\mathbb{R}$，复数群$\mathbb{C}$，在加法运算下$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$
3. **整数模n加法群**: 对于任意$n\ge1$，$\mathbb{Z}_n$表示所有整数模n的集合，完整表示为$(\mathbb{Z}_n,+(\mod n))$，单位元$e=0$，逆元$a^{-1}=n-a$
1. $\mathbb{Z}_n=(\{0,1,2,\ldots,n-1\},+(\mod{n}))$
2. $\#\mathbb{Z}_n=n$
4. **整数模n乘法群**\([Multiplicative group of integers modulo n](https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n)\) : $\mathbb{Z}_n$中所有与n互质的元素构成一个有限乘法群，这里的乘法指模n乘法，用$\mathbb{Z}_n^{*}$表示，例如$\mathbb{Z}_{15}^{*}=(\{1,2,4,7,8,11,13,14\},*(\mod{15}))$
1. 如果p是质数，那么$\mathbb{Z}_p^{*}=(\{1,2,3,\ldots,p-1\},+(\mod{p})), \#\mathbb{Z}_p^{*}=p-1$
2. 如果$pq$是质数，$n=pq$，那么根据欧拉定理$\mathbb{Z}_n^{*}$里元素的个数为$\phi(n)=(p-1)(q-1)$
3. $\mathbb{Z}_{12}^{*}=\{1,5,7,11\}$
docs/note/math/index.md
+8
View File
@@ -0,0 +1,8 @@
# 数学
* [常用数学符号](./symbol.md)
* [群](./group.md)
* [数论（一）](./number_theory_1.md)
* [数论（二）](./number_theory_2.md)
* [数论（三）](./number_theory_3.md)
* [概率](./probability.md)
docs/note/math/math_euclid.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 6.7 KiB

docs/note/math/math_relatively_prime.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 15 KiB

docs/note/math/number_theory_1.md
+212
View File
@@ -0,0 +1,212 @@
# 数论（一）
---
## 1.同余系统
### 1.1 最大公约数([Greatest common divisor](https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor))
#### 1.1.1 $\gcd(x,y)$表示x和y的最大公约数，也叫最大公因数，例如$\gcd(6,15)=3$
欧几里得对“公约”的解释，给定两条长度不同的线段 a 和 b ，如果能够找到第三条线段 c ，它既可以度量 a ，又可以度量 b ，我们就说 a 和 b 是可公约的\(commensurable\)，最大可能的c就是a和b的最大公约数
#### 1.1.2 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数成是互质的\(relatively prime\)，比如说$\gcd(7,10)=1$
互质的几何意义，如果 a 和 b 互质，这就意味着分数 a / b 已经不能再约分了，意味着 a × b 的棋盘的对角线不会经过中间的任何交叉点，意味着循环长度分别为 a 和 b 的两个周期性事件一同上演，则新的循环长度最短为 a × b 。
![](./math_relatively_prime.png)
#### 1.1.3 最大公约数一般使用欧几里得碾压相除法\([Euclidean algorithm](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm)\)计算
欧几里得算法使用了如下递归式
$$
\gcd(n,m)=\gcd(m, n\bmod m)
$$
$\gcd(69,21)=3$的计算方法
$\gcd(69,21)=\gcd(21,6)=\gcd(6,3)=3$
![](./math_euclid.png)
### 1.2 最小公倍数([Least Common Multiple](https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple))
$lcm(x,y)$表示x和y的最小公倍数,例如$lcm(45,30)=90$
$$
\gcd(x,y)\times lcm(x,y)=xy
$$
### 1.3 模运算
#### 1.3.1 $x\bmod{n}$ 是$x$除以$n$的余数,例如$13\bmod{5}=3$
#### 1.3.2 模运算符合交换律，结合律和分配律
$$
\begin{split} (a+b)\bmod n &=((a\bmod n)+(b\bmod n))\bmod n \\
(a-b)\bmod n &=((a\bmod n)-(b\bmod n))\bmod n \\
(a\times b)\bmod n &=((a\bmod n)\times(b\bmod n))\bmod n \\
(a\times (b+c))\bmod n &=(((a\times b)\bmod n)+((a\times c)\bmod n))\bmod n \end{split}
$$
#### 1.3.3 如何计算$a^x\bmod n$
如果$x$是2的幂次方，例如16，那么 $a^{16}\bmod n=(((a^2\bmod n)^2\bmod n)^2\bmod n)^2\bmod n$
如果$x$不是2的幂次方，例如$a^{25}\bmod n$
$25=16+8+1=(2+1)\times2\times2\times2+1$
$a^{25}=a^{(2+1)\times2\times2\times2+1}=(((a^2\times a)^2)^2)^2\times a$
$a^{25}\bmod n=(((((((a^2\bmod n)\times a)\bmod n)^2\bmod n)^2\bmod n)^2\bmod n)\times a)\bmod n$
### 1.4 同余等式
如果$a$和$b$除$n$的余数相同，那么记为$a\equiv b\pmod n$
如果$a\equiv b\pmod n$，那么$b\equiv a\pmod n$
如果$a\equiv b\pmod n, b\equiv c\pmod n$，那么记为$a\equiv b\equiv a\pmod n$
如果$a_1\equiv b_1\pmod{m}, a_2\equiv b_2\pmod{m}, \ldots, a_n\equiv b_n\pmod{m}$，那么
$$
\begin{split} a_1+a_2+\ldots+a_n &\equiv (b_1+b_2+\ldots+b_n)\pmod{m} \\ a_1a_2\ldots a_n &\equiv (b_1 b_2\ldots b_n)\pmod{m}\end{split}
$$
## 2.中国剩余定理
### 2.1 孙子算经中的问题
> “今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。”
> 《孙子算经》卷下第二十六问
### 2.2 数学解释
有$m$个两两互质的数，其乘积为$P$，有一个未知数$M$，如果我们已知$M$分别除以这$m$个数所得的余数，那么在0到$P – 1$的范围内，我们可以唯一地确定这个$M$
### 2.3 直觉
两个除数的情况为例，假设两个除数分别是 4 和 7。下表显示的就是各自然数除以 4 和除以 7 的余数情况
|$i$|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|$5$|$6$|$7$|$8$|$9$|$10$|$11$|$12$|$13$|$14$|$15$|$16$|$17$|$18$|$19$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$i\bmod 4$|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|
|$i\bmod 7$|0|1|2|3|4|5|6|0|1|2|3|4|5|6|0|1|2|3|4|5|
|$i$|$20$|$21$|$22$|$23$|$24$|$25$|$26$|$27$|$28$|$29$|$30$|$31$|$32$|$33$|$34$|$35$|$36$|$37$|$38$|$39$|
|$i\bmod 4$|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|0|1|2|3|
|$i\bmod 7$|6|0|1|2|3|4|5|6|0|1|2|3|4|5|6|0|1|2|3|4|
可以看出，$i\bmod 4, i\bmod 7$的结果以$4×7 = 28$长度循环，每种特性的组合都在这28个结果中出现，所以一旦确定$i \bmod 4$和$i \bmod 7$的余数，就一定能唯一判定出$i$
### 2.4 数学表达
已知$m_1,m_2,\ldots,m_k$是两两互质的正整数，有未知数$x$满足同余方程组
$$
x\equiv a_1\pmod{m_1} \\
x\equiv a_2\pmod{m_2} \\
\cdots \\
x\equiv a_k\pmod{m_k} \\
$$
那么
$$
x=(a_1M_1M_1^{-1}+a_2M_2M_2^{-1}+\ldots+a_kM_kM_k^{-1})\bmod {M}
$$
其中$M=m_1\cdot m_2\cdot\ldots\cdot m_k, M_i=M/m_i$, 而$M_i^{-1}$是$M_i$的逆元（见3.3节），也就是$M_iM_i^{-1}\equiv 1\pmod{m_i}$
### 2.5 举例，孙子算经中的问题
$m_1=3,m_2=5,m_3=7,a_1=2,a_2=3,a_3=2$，那么
$$\begin{split}
M&=3\times5\times7=105\\
M_1&=5\times7=35\\
M_2&=3\times7=21\\
M_3&=3\times5=15\\
M_1^{-1}&=35^{\phi(3)-1}\bmod{2}=2 \\
M_2^{-1}&=21^{\phi(5)-1}\bmod{5}=1 \\
M_3^{-1}&=15^{\phi(7)-1}\bmod{7}=1 \\
x&=(2\times35\times2+3\times21\times1+2\times15\times1)\bmod 105=23
\end{split}
$$
## 3.欧拉定理
### 3.1 欧拉函数
任意给定正整数$n$，小于等于$n$的正整数之中，与n构成互质关系的数的个数记为$\phi(n)$
$$\phi(1)=1$$
如果$p$是质数，那么$\phi(p)=p-1$， $\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
如果$n=pq, \phi(n)=\phi(p)\phi(q)=(p-1)(q-1)$
如果$n=p_1^{k1}p_2^{k2}\ldots p_r^{kr}$，那么
$$
\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots(1-\frac{1}{p_r})
$$
比如$\phi(1323)=\phi(3^3\times 7^2)=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756$
### 3.2 欧拉定理
如果$a$和$n$互质，那么
$$
a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n
$$
#### 3.2.1
$\phi(10)=4$，$7^{\phi(10)}\equiv7^4\equiv2401\equiv1\pmod {10}$
#### 3.2.2
$7^{4k}\equiv(7^4)^k\equiv\underbrace{7^4\times 7^4\times\ldots\times7^4}_{\text k}\equiv\underbrace{1\times 1\times\ldots\times1}_{\text k}\pmod n$，所以$7^{4k}$尾数一定是1
#### 3.2.3
由于$7^{4k}\equiv1\pmod {10}, 7^{2}\equiv9\pmod {10}$, 所以$7^{222}\equiv 7^{4\times55+2}\equiv(\underbrace{1\times 1\times\ldots\times 1}_{55}\times 9)\pmod{10}$，所以$7^{222}$尾数为9
### 3.3 模反元素（逆元）
如果$a$和$n$互质，那么$ax\equiv 1\pmod n$有解，$x$称为$a$模$n$的模反元素
#### 3.3.1
用欧拉定理证明$a^{\phi(n)}\equiv a\times a^{\phi(n)-1}\equiv1\pmod {n}$，所以$a^{\phi(n)-1}+kn$都是a的模反元素
#### 3.3.2
例如求解同余方程$3x\equiv1\pmod{11}$，那么$3^{\phi(11)-1}\equiv3^9\equiv19683\equiv4\pmod{11}$，所以$4+11k$都是同余方程的解
### 3.4 费马小定理
根据欧拉定理，当$p$是一个质数时，对于任意正整数$a$，有$a^p\equiv a\pmod{p}$，如果$p\nmid a$，那么
$$
a^{p-1}\equiv1\pmod{p}
$$
## 4.扩展碾压相除法
### 4.1 裴蜀定理
对于方程$ax+by=d$，当且仅当$\gcd(a,b)\mid{d}$时，方程有整数解
### 4.2 算法实现
对于方程$ax+by=\gcd(a,b)$, 假设方程$bx+(a\bmod b)y=\gcd(a,a\bmod b)$有整数解$(x',y')$，由于$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$,可以得到
$$
ax+by=bx'+(a\bmod b)y'=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')
$$
所以
$$
x=y', y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'
$$
用递归算法实现
```cpp :no-line-numbers
pair<int,int> exgcd(int a,int b){
if(b == 0)return make_pair(1,0);
pair<int,int>temp = exgcd(b,a%b);
pair<int,int>ans = make_pair(temp.second,temp.first-(int)(a/b)*temp.second);
return ans;
}
```
docs/note/math/number_theory_2.md
+216
View File
@@ -0,0 +1,216 @@
# 数论（二）
---
## 5.二次剩余
### 5.1 二次剩余([Quadratic residue](https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue))和二次非剩余定义
设整数$n\gt1, a\lt n$,如果存在$x\in\mathbb{z}_n$,满足$x^2\equiv a\pmod{n}$,那么称$a$是模$n$的二次剩余,否则$a$就称为模$n$的二次非剩余，用$QR_n$表示模$n$的二次剩余集合，用$QNR_n$表示模$n$的二次非剩余集合
### 5.2 举例
$$
\begin{split}
QR_{11}&=\{0^2,1^2,2^2,3^2, 4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2,10^2,11^2,\ldots\}\pmod{11}=\{0,1,3,4,5,9\}\\
QNR_{11}&=\{2,6,7,8,10\}
\end{split}
$$
### 5.3 定理：欧拉准则
针对质数$p$的二次剩余判定，对于质数$p$,任意$x\in\mathbb{Z}_p^{*}$，$x\in QR_p$的充分必要条件为
$$
x^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod{p}
$$
$x\in QNR_p$的充分必要条件为
$$
x^{(p-1)/2}\equiv -1\pmod{p}
$$
### 5.4 定理
针对合数$n$的二次剩余判定，$n={p_1}^{a_1}\times{p_1}^{a_1}\times\cdots\times{p_k}^{a_k}$，那么$x\in QR_{n}$的充分必要条件为：
$$
x\pmod{{p_i}^{a_i}}\in QR_{{p_i}^{a_i}}
$$
### 5.5 举例
$$\begin{split}
n&=5\times7 \\
QR_5&=\{0,1,4\} \\
QNR_5&=\{2,3\} \\
QR_7&=\{0,1,2,4\} \\
QNR_7&=\{3,5,6\} \\
QR_{35}&=\{0,1,4,9,11,14,15,16,21,25,29,30\}
\end{split}
$$
### 5.6 定理
对于质数$p$,$\mathbb{Z}_p^*$中有$(p-1)/2$个元素是模$p$的二次剩余，另外$(p-1)/2$个元素是模$p$的二次非剩余
### 5.7 举例
$$
\mathbb{Z}_{11}^{*}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\
\{1,3,4,5,9\}\in QR_{11}\\
\{2,6,7,8,10\}\in QNR_{11}\\
$$
### 5.8 **定理**
对于两个质数的乘积$n=qp$，那么$\mathbb{Z}_{n}$里恰好有1/4的数，也就是$(p-1)(q-1)/4$个是二次剩余，一般来说，如果合数n有k个质数因子，那么$\mathbb{Z}_{n}^{*}$中的元素中有$1/2^k$是二次剩余
### 5.9 **举例**
$$
\mathbb{Z}_{15}^{*}=\{1,2,4,7,8,11,13,14\} \\
\{1,4\}\in QR_{15}\\
\{2,7,8,11,13,14\}\in QNR_{15}\\
$$
## 6. 勒让德-雅可比符号
### 6.1 定义
对于任意质数$p\gt2$，和任意$a$，定义勒让德符号([Legendre_symbol](https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol))为$L(a,p)$
$$
L(a,p) =\begin{cases}
1 & \text{if } a\in QR_p \text{ and } a\not\equiv 0 \pmod p\cr
-1 & \text{if } a\in QNR_p \text{ and } a\not\equiv 0 \pmod p\cr
0 & \text{if } a \equiv 0 \pmod p\cr
\end{cases}
$$
### 6.2 定理
勒让德符号计算方法
$$
L(a,p)=a^{(p-1)/2}\pmod{p}, \text{ and }L(a,p)=\in\{-1,0,1\}
$$
### 6.3 定义
对于合数$n\gt1$, 其素因子$n=p_1p_2\cdots p_k$（可重复），任意整数$a$，定义雅可比符号([Jacobi symbol](https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol))
$$
J(a,n)=L(a,p_1)L(a,p_2)\cdots L(a,p_k)
$$
注意：雅可比符号不能确定一个数$a$是否是对模$n$的二次剩余（除非$n$是质数），比如
$$
J(7,143)=L(7,11)L(7,13)=1
$$
但7并不是143的二次剩余
### 6.4 简写
勒让德符号和雅可比符号也可统一简写为$\left(\frac{a}{p}\right)$ ,或者$(a|p)$
## 7. 模质数的二次平方根
### 7.1 定理
对于质数$p\gt2$，如果$a\in QR_p, a\neq 0$，那么方程
$$
x^2\equiv a\pmod{p}
$$
在有两个解，也就是说a有两个平方根，其中一个在区间$[1,(p-1)/2]$，另一个在区间$[(p+1)/2, p-1]$，而且，其中一个平方根也属于模$p$的二次剩余，称为主平方根(pricipal square root)
### 7.2 举例
对于方程
$$
x^2\equiv9\pmod{11}\\
$$
有两个解$x_1=3,x_2=8$, 其中
$$
3\in[1,5], 8\in[6,10], 3\in QR_{11}
$$
### 7.3 算法：求模为质数时的平方根
#### 7.3.1 特殊情况
对于方程$x^2\equiv a\pmod{p},a\in QR_p$
如果$p\equiv 3,7\pmod{8}$, $x\equiv \pm a^{(p+1)/2}\pmod{p}$
如果$p\equiv 5\pmod{8}$, $x\equiv \pm a^{(p+3)/8}\pmod{p}$
如果$p\equiv 3\pmod{4}$, $x\equiv \pm a^{(p+1)/4}\pmod{p}$
#### 7.3.2
对于一般情况的质数$p$,使用[Tonelli–Shanks](https://en.wikipedia.org/wiki/Tonelli%E2%80%93Shanks_algorithm)算法求解
## 8. 模合数的二次平方根
参考: [https://www.johndcook.com/blog/quadratic_congruences/](https://www.johndcook.com/blog/quadratic_congruences/)
### 8.1 **算法** 模2的幂
对于方程$x^2\equiv a\pmod 2$，有解$x\equiv1\pmod2$
方程$x^2\equiv a\pmod{2^2}$，当$a\equiv1\pmod4$时有2个解，$x\equiv\pm1\pmod4$
方程$x^2\equiv a\pmod{2^n},n\geq3,\gcd(a,2)=1$, 当$a\equiv1\pmod8$时有4个解，
### 8.2 **算法** 模质数的幂
求解方程$x^2\equiv a\pmod{p^k},k\gt0, \gcd(a,p)=1$,
方程有解的充分必要条件是$\left(\frac{a}{p}\right)=1$, 也就是a是模p的二次剩余
方程有两个解，使用[Hensel's lemma](https://en.wikipedia.org/wiki/Hensel%27s_lemma)算法
设$x_k$是$x^2\equiv a\pmod{p^k}$的解，有$y_k$存在使得等式$2x_ky_k\equiv1\pmod{p^k}$成立，那么$x_{k+1}=x_k-(x_k^2-a)y_k$是方程$x^2\equiv a\pmod{p^{k+1}}$的解
### 8.3 **举例**
求解方程
$$
x^2\equiv23\pmod{343}
$$
其中$343=7^3$，首先解方程
$$
x_1^2\equiv23\equiv2\pmod{7}, x_1=\pm3
$$
以$x_1=3$为例，使用扩展欧几里得算法求解
$$
2\times3\times y_1\equiv1\pmod{7}, y_1=6 \\
x_2=(x_1-(x_1^2-a)y_1)\pmod{49}=38
$$
同理，求方程
$$
2\times38\times y_2\equiv1\pmod{49}, y_2=20 \\
x_3=(38-(38^2-23)\times20)\pmod{343}=87
$$
所以，最终方程的两个解是$\pm87(87,256)$
### 8.4 **算法**
对于合数$n=p_1p_2\cdots p_k$， 整数$a\in QR_n$, 求解方程$x^2\equiv a\pmod{n}$
首先求解模质数方程
$$
x_{p_1}^2\equiv a\pmod{p_1}\\
x_{p_1}^2\equiv a\pmod{p_1}\\
\cdots \\
x_{p_k}^2\equiv a\pmod{p_k}
$$
然后根据中国剩余定理，解方程组
$$
\cases{
x\equiv x_{p_1}\pmod{p_1} \\
x\equiv x_{p_2}\pmod{p_2} \\
\cdots \\
x\equiv x_{p_k}\pmod{p_k}
}
$$
得到$x$，由于每个$x_{p_i}$有两个解，所以最终$x$有$2^k$个解
### 8.5 **举例**
$$
x^2\equiv15\pmod{77}, p=7,q=11
$$
按照模为质数的方法解方程
$$
\begin{cases}
x_p^2\equiv15\equiv 1\pmod{7} & \text{ } x_p=\pm1(1,6) \\
x_q^2\equiv15\equiv 4\pmod{11} & \text{ } x_q=\pm9(2,9)
\end{cases}
$$
按照中国剩余定理，解以下四个方程组
$$
\cases{
x\equiv1\pmod{7} \\
x\equiv2\pmod{11}
}\cases{
x\equiv1\pmod{7} \\
x\equiv9\pmod{11}
}\cases{
x\equiv6\pmod{7} \\
x\equiv2\pmod{11}
}\cases{
x\equiv6\pmod{7} \\
x\equiv9\pmod{11}
}
$$
得到四个解$x=57,64,13,20$
### 8.6 **定理**
如果不知道$n$的素因子，那么就模$n$的平方根是非常困难的问题
docs/note/math/number_theory_3.md
+105
View File
@@ -0,0 +1,105 @@
# 数论（三）
---
## 9. Blum整数[Blum Integer](https://en.wikipedia.org/wiki/Blum_integer)
### 9.1 定义
如果有质数$p,q$，满足$p\equiv3\pmod4,q\equiv3\pmod4$,那么$n=pq$称为Blum整数
比如 21, 33, 57, 69, 77, 93, 129, 133, 141, 161, 177, 201, 209, 213, 217, 237, 249, 253, 301, 309, 321, 329, 341, 381, 393, 413, 417, 437, 453, 469, 473, 489, 497, ...
### 9.2 历史
以数学家[Manuel Blum](https://en.wikipedia.org/wiki/Manuel_Blum)命名
### 9.3 特性
设$n$是Blum整数
#### 9.3.1
由于$p=4k+3, \frac{p-1}{2}=2k+1$, 所以$L(-1,p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{2k+1}=-1$
所以
$$
J(-1,n)=L(-1,p)\times L(-1,q)=1
$$
推论：$J(a,n)=J(-a,n)$
举例：
$$\begin{split}
J(1,21)&=J(20,21)=1 \\
J(2,21)&=J(19,21)=-1 \\
J(4,21)&=J(17,21)=1 \\
\cdots \\
J(10,21)&=J(11,21)=-1
\end{split}$$
#### 9.3.2
对于任意$y\in\mathbb{Z}_n^{*}$，如果$L(y,n)=1$，那么$y$和$-y$有一个属于$QR_n$，有一个属于$QNR_n$
举例：
满足$J(y,21)=1$的数有$\{\pm1,\pm4,\pm5\}$，其中$\{1,4,-5(16)\}$属于$QR_{21}$, $\{-1(20), -4(17), 5\}$属于$QNR_{21}$
#### 9.3.3
对于任意$y\in QR_n$，方程$x^2\equiv y\pmod{n}$有四个根$\pm u,\pm v$，这四个根满足以下组合
$$
\cases{
L(u,p)=1 \\
L(u,q)=1
}\cases{
L(-u,p)=-1 \\
L(-u,q)=-1
}\cases{
L(v,p)=-1 \\
L(v,q)=1
}\cases{
L(-v,p)=1 \\
L(-v,q)=-1
}
$$
其中有且仅有一个解$u\in QR_n$，
举例：
方程$x^2\equiv 4\pmod{21}$有四个解$\pm2(2,19), \pm5(5,16)$,
$$
\cases{
L(16,3)=1 \\
L(16,7)=1
}\cases{
L(5,3)=-1 \\
L(5,7)=-1
}\cases{
L(2,3)=-1 \\
L(2,7)=1
}\cases{
L(19,3)=1 \\
L(19,7)=-1
}
$$
#### 9.3.4
函数$f(x)=x^2\pmod{n}$是集合$QR_n$的一个置换，也就是说，对于任意$x\in QR_n, f(x)\in QR_n$，且$f(x)$和$x$一一对应
举例57=3x19：
| $x\in QR_{57}$ | 1 | 4 | 7 | 16 | 25 | 28 | 43 | 49 | 55 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x^2\mod 57$ | 1 | 16 | 49 | 28 | 55 | 43 | 25 | 7 | 4 |
#### 9.3.5
对于任意$y\in QR_n$，方程$x^2\equiv y\pmod{n}$有四个根$\pm u,\pm v$，其中一对解$\pm u$,也就是$u,n-u$, 一定有一个是奇数，另一个是偶数，一个是在$[1,(n-1)/2]$区间，另一个在$[(n+1)/2, n-1]$区间
比如$x^2\equiv 16\pmod{21}$有四个解$(4,17), (10,11)$
#### 9.3.6
$\mathbb{Z}_n^*$被分成不相交且数量相等的四份，分别为$QR_n, (-1)QR_n, \xi QR_n,(-\xi)QR_n$，其中$\xi^2\equiv 1\pmod{n}$, 而且$L(\xi,n)=-1$
举例：
对于$n=21, \xi=8, \mathbb{Z}_{21}^*=\{1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20\}$,
$$\begin{split}
QR_{21}&=\{1,4,16\} \\
(-1)QR_{21}&=\{20, 17, 5\} \\
\xi QR_{21}&=\{8,32, 128\}\mod 21=\{8, 11, 2\}\\
(-\xi)QR_{21}&=\{13, 10, 19\}
\end{split}$$
#### 9.3.7
如果已知Blum整数$n$，方程$x^2\equiv a\pmod{n}$的四个解$\pm x_1, \pm x_2$, 那么可以推导出$n$的两个质数因子$\gcd(x_1+x_2,n),\gcd(x_1-x_2,n)$
举例：
如果已知方程$x^2\equiv16\pmod{21}$的四个解为$\pm4,\pm10$，那么$\gcd(10+4,21)=7,\gcd(10-4,21)=3$，所以可以推导出21的两个质因子为3和7
docs/note/math/prob_01.gif
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 4.3 KiB

docs/note/math/probability.md
+160
View File
@@ -0,0 +1,160 @@
# 概率
----
## 1.随机变量
### 1.1 离散随机变量
比如扔一个质地均匀的色子，产生的结果就是一个离散随机变量，$X=\{1,2,3,4,5,6\}$，离散随机变量中的每一个可能的值$x_i$都对应一个概率$p_i$，对于扔色子这个例子，$p_i=1/6$,所有离散随机数值$x_i$的概率之和为 $\sum{p_i}=1$
### 1.2 连续随机变量
计算机中产生一个[0,1]之间的随机函数rand()，在不考虑浮点数精度时，就是一个连续的随机变量$X$
## 2. 概率分布函数(CDF)
### 2.1 定义
衡量一个随机数的概率分布规律的两个重要函数，概率分布函数(cumulative distribution function)用来定义概率累计的结果
$$
F_X(x)=P(X\leqslant x)
$$
其中函数$P$表示某事件发生的概率，也就是说$F_X(x)$表示随机变量$X$小于$x$的概率
### 2.2 举例
比如对于一个在[a,b]之间概率均匀分布的随机变量$X$
$$
F_X(x)=\begin{cases}
0 & {x < a} \\
\dfrac{x-a}{b-a} & {a\leqslant x < b}\\
1 & {b\leqslant x}
\end{cases}
$$
特别的，一个在[0,1]之间均匀分布的随机变量$U$的概率分布函数
$$
F_U(x)=\begin{cases}
0 & {x < 0} \\
x & {0\leqslant x < 1}\\
1 & {1\leqslant x}
\end{cases}
$$
### 2.3 特性
- $0\leq F(x)\leq 1$
- $F_X(x)$为单调上升的右连续函数
- $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}{ F(x)=0} , \lim_{x \to +\infty}{ F(x)=1}$
- $P(a < x\leqslant b)=F(b)-F(a)$
## 3. 概率密度函数(PDF)
### 3.1 定义
对于连续性随机变量，其概率分布函数$F_X(x)$可以表达成函数$f_X(x)$的积分
$$
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(u)du
$$
称$f_X(x)$为随机变量$X$的概率密度函数，可以理解为随机变量$X$出现在区间$[x,x+dx]$之间的概率为$f_X(x)dx$
### 3.2 特性
- $f_X(x)=\dfrac{d}{dx}F_X(x)$
- $f_X(x)\geqslant 0, \forall x\in \mathbb{R}$
- $\displaystyle P(a < x \leqslant b)=\int_a^{b}f_X(u)du$
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(u)du=1$
### 3.3 举例
对于均匀分布在[a,b]之间的随机变量$U$，有
$$
f_U(x)=\begin{cases}
1/(b-a) & {a\leqslant x \leqslant b} \\
0 & {\text{otherwise}}
\end{cases}
$$
正态分布
$$
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, -\infty< x < +\infty
$$
## 4. 期望值
### 4.1 定义
对于离散随机变量，定义期望值
$$
E[X]=\sum{x_i p_i}
$$
对于连续型随机变量，定义期望值
$$
E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx
$$
比如对于扔色子的结果
$$
E[X]=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3.5
$$
对于标准正态分布
$$
E[X]=0
$$
### 4.2 特性
如果$c$是常量，那么
- $E[X+c]=E[X]+c$
- $E[cX]=cE[X]$
- $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$
## 5. 大数定理
对于随机变量$X$，获取其序列值$X_1,X_2,...X_n$，当$n\rightarrow\infty$时，其平均值趋近于期望值$E(X)$
$$
P(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E[X])=1
$$
## 6. 蒙特卡洛积分法
### 6.1 定义
想求一个函数$g(x)$在[a,b]区间的定积分
$$
I=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx
$$
定义一个随机数序列$\{X_i\}$，$X_i$在[a,b]区间的概率密度函数为$f_X$,定义
$$
g'(x)=\dfrac{g(x)}{f_X(x)}
$$
那么序列$\{g'(X_i)\}$也是一组随机数序列，其期望值
$$
E[g'(X_i)]=\int_{a}^{b}g'(x)f_X(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx=I
$$
根据大数定理
$$
E[g'(X_i)]=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g'(X_i)
$$
所以
$$
\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx\approx\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\dfrac{g(X_i)}{f_X(X_i)}
$$
### 6.2举例
比如需要计算
$$
I=\int_{0}^{2}x^2dx=\dfrac{8}{3}
$$
设随机变量$X$在[0,2]区间均匀分布，那么$f_X=1/2$,那么
$$
I\approx\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}2X_i^2
$$
用Mathmatica模拟
![](./prob_01.gif)
## 7. 采样函数
计算机中生成的随机数一般是概率均匀分布的随机变量，一般用$\xi$表示均匀分布在[0,1]之间的随机变量，如果一个随机变量$X$的概率密度函数为$f_X$，概率分布函数为$F_X$，那么产生随机变量$X$的采样函数为概率分布函数的反函数
$$
F_X^{-1}(\xi)
$$
### 7.1 证明
随机变量$\xi$有一个很重要的特性
$$
P(\xi\leqslant a)=a
$$
随机变量的概率的分布函数$F_X$肯定是单调递增函数，所以它的反函数也一定是单调递增函数，所以
$$\begin{split}
P(F_X^{-1}(\xi)\leqslant x)&=P(F_X(F_X^{-1}(\xi))\leqslant F_X(x))\\
&=P(\xi\leqslant F_X(x))\\
&=F_X(x)
\end{split}$$
### 7.2 举例
比如想产生一个随机点，均匀分布在一个半径为R的圆内，设产生的随机点的极坐标为$(\rho,\theta)$，那么$\rho$的概率分布函数
$$
F_\rho(r)=P(\rho\leqslant r)=r^2/R^2 \\
$$
所以产生随机点的采样函数为
$$\begin{split}
\rho&=F_\rho^{-1}(\xi_\rho)=R\sqrt{\xi_\rho} \\
\theta&=2\pi\xi_\theta
\end{split}$$
![](./rnd_02.gif)
docs/note/math/rnd_02.gif
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 12 KiB

docs/note/math/symbol.md
+28
View File
@@ -0,0 +1,28 @@
# 常用数学符号
---
| 符号 | MathJax | 解释 |
| :--- | :--- | :--- |
| $\emptyset$ | \emptyset | 空集 |
| $S\cup T$ |\cup| $S$集合和$T$集合的并集 |
| $S\cap T$ |\cap| $S$集合和$T$集合的交集 |
| $S\setminus B$ |\setminus| $S$集合和$T$集合的差集 |
| $S\subseteq B$ |\subseteq| $S$是$T$的子集 |
| $\#S$ |\\#| 集合$S$中的元素数目（比如$\#\emptyset=0$\) |
| $x\in S, x\notin S$ | \in, \notin | 元素$x$属于（不属于）集合$S$ |
| $x\in(a,b),x\in[a,b]$| |元素$x$属于开区间$(a,b)$，元素$x$属于闭区间$[a,b]$ |
| $\mathbb{N,Z,Q,R,C}$|\mathbb{N,Z,Q,R,C}|自然数集，整数集，有理数集，实数集，复数集|
| $\mathbb{Z}_n$| |模$n$整数群|
| $\mathbb{Z}_n^{*}$| |模$n$整数乘法群|
| $a\mod{b}$| \mod | 模运算：$a$被$b$除所得余数|
| $x\mid y, x\nmid y$|\mid,\nmid | 整数$y$可被（不可被）$x$整除，比如 $2\mid10, 3\nmid10$|
| $\forall$| \forall | 对所有的 |
| $\exists$ | \exists | 存在 |
| $\gcd(x,y)$| | $x$和$y$的最大公因数|
| $lcm(x,y)$| | $x$和$y$的最小公倍数|
| $\lfloor x \rfloor$| \lfloor x \rfloor | 小于等于$x$的最大整数 |
| $\lceil x \rceil$| \lceil x \rceil | 大于等于$x$的最小整数 |
| $\phi(x)$|\phi|欧拉函数|
| $QR_n$ | | 模$n$的二次剩余集合 |
| $QNR_n$ | | 模$n$的二次非剩余集合 |