From fda18ef058102407e29a5a3a3001512227c65046 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: thejinchao Date: Wed, 9 Apr 2025 23:19:02 +0900 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=BB=86=E8=8A=82=E6=94=B9=E8=BF=9B?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/note/graphics/math/transform_01.md | 17 ++++++++--------- 1 file changed, 8 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/docs/note/graphics/math/transform_01.md b/docs/note/graphics/math/transform_01.md index 91342f2..998d0f7 100644 --- a/docs/note/graphics/math/transform_01.md +++ b/docs/note/graphics/math/transform_01.md @@ -197,7 +197,7 @@ z_1z_2&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i $$ #### 3.4.2 四元数定义 -四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充。 四元数有1个实部，3个虚部，形式如下 +四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充，有1个实部，3个虚部，形式如下 $$ q=s+xi+yj+zk $$ @@ -231,14 +231,14 @@ q_1-q_2&=[s_1-s_2,\quad \vec{v_1}-\vec{v_2}]\\ q_1q_2&=[s_1s_2-\vec{v_1}\cdot\vec{v_2},\quad s_1\vec{v_2}+s_2\vec{v_1}+\vec{v_1}\times\vec{v_2}] \end{aligned} $$ -四元数的乘法满足满足结合律，但不满足交换律 +四元数的乘法满足结合律，但不满足交换律 $$ \begin{aligned} (q_1q_2)q_3&=q_1(q_2q_3)\\ q_1q_2&\neq q_2q_1 \end{aligned} $$ -但如果$q_1,q_2$中的两个向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证 +但如果$q_1,q_2$中的向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证 $$ q_1q_2=q_2q_1\quad(when\quad \vec{v_1}\parallel\vec{v_2}) \tag{3.4.3.1} @@ -272,7 +272,7 @@ $$ (q_1q_2)^{-1}=q_2^{-1}q_1^{-1} $$ #### 3.4.5 四元数与向量 -如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。设$q_v=[0,\vec{v}]$，那么 +如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。记$q_v=[0,\vec{v}]$，那么 $$\begin{aligned} \lambda q_v&=[0, \lambda\vec{v}]\\ q_{u}\pm q_{v}&=[0, \vec{u}\pm\vec{v}] @@ -305,7 +305,7 @@ $$\begin{aligned} $$ R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos(\theta)+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin(\theta)\tag{3.4.6.1} $$ -设两个纯四元数$q_n, q_v$ +设两个纯四元数$q_n, q_{v2}$ $$\begin{aligned} q_n&=[0, \vec{n}]\\ q_{v2}&=[0, \vec{v_2}] @@ -319,8 +319,7 @@ q_nq_{v2}&=[-\vec{n}\cdot\vec{v_2},\quad\vec{n}\times\vec{v_2}]\\ 所以$q_nq_{v2}$是一个纯四元数 由于3.4.6.1中都是线性计算，将3.4.6.2和3.4.6.3代入其中，可以得到$R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)$的四元数形式 $$\begin{aligned} -R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)&=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos\theta+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin\theta\\ -&= q_v\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\ +\quad[0, R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)]&= q_{v2}\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\ &=(\cos\theta+q_n\sin\theta)q_{v2}\\ &=[\cos\theta, \vec{n}\sin\theta]q_{v2}\\ &=q(\theta, \vec{n})q_{v2} @@ -340,7 +339,7 @@ $$ 将3.4.6.4带入3.3.2.4中，可以得到罗德里格旋转公式的四元数形式为 $$\begin{aligned} R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=\vec{\boldsymbol{v}}_1+R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)\\ -&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\ +\quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\ &=p\overline{p}q_{v1}+ppq_{v2} \end{aligned}\tag{3.4.6.6} $$ @@ -354,7 +353,7 @@ q_{v2}\overline{p}&=[0, \vec{v_2}][\cos\frac{\theta}{2},-\vec{n}\sin\frac{\theta \end{aligned}$$ 带入3.4.6.6，可以得到 $$\begin{aligned} -R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\ +\quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\ &=p(q_{v1}+q_{v2})\overline{p}\\ &=pq_v\overline{p} \end{aligned}\tag{3.4.6.7}