更新四元数和矩阵互转

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@@ -197,7 +197,7 @@ z_1z_2&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i
 $$
 
 #### 3.4.2 四元数定义
-四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充。 四元数有1个实部，3个虚部，形式如下
+四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充，有1个实部，3个虚部，形式如下
 $$
 q=s+xi+yj+zk
 $$
@@ -231,14 +231,14 @@ q_1-q_2&=[s_1-s_2,\quad \vec{v_1}-\vec{v_2}]\\
 q_1q_2&=[s_1s_2-\vec{v_1}\cdot\vec{v_2},\quad s_1\vec{v_2}+s_2\vec{v_1}+\vec{v_1}\times\vec{v_2}]
 \end{aligned}
 $$
-四元数的乘法满足满足结合律，但不满足交换律
+四元数的乘法满足结合律，但不满足交换律
 $$
 \begin{aligned}
 (q_1q_2)q_3&=q_1(q_2q_3)\\
 q_1q_2&\neq q_2q_1
 \end{aligned}
 $$
-但如果$q_1,q_2$中的两个向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证
+但如果$q_1,q_2$中的向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证
 $$
 q_1q_2=q_2q_1\quad(when\quad \vec{v_1}\parallel\vec{v_2})
 \tag{3.4.3.1}
@@ -268,11 +268,18 @@ $$
 q^{-1}=\frac{\overline{q}}{\|q\|^2}\tag{3.4.4.2}
 $$
 四元数的逆满足如下运算
+$$\begin{aligned}
+(q_1q_2)^{-1}&=q_2^{-1}q_1^{-1}\\
+(q_1q_2\ldots q_n)^{-1}&=q_n^{-1}\ldots q_2^{-1}q_1^{-1}
+\end{aligned}\tag{3.4.4.3}
 $$
-(q_1q_2)^{-1}=q_2^{-1}q_1^{-1}
+易知，如果是单位四元数
 $$
+\overline{q_1q_2\ldots q_n}=\overline{q_n}\ldots \overline{q_2}\,\overline{q_1}\tag{3.4.4.4}
+$$
+
 #### 3.4.5 四元数与向量
-如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。设$q_v=[0,\vec{v}]$，那么
+如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。记$q_v=[0,\vec{v}]$，那么
 $$\begin{aligned}
 \lambda q_v&=[0, \lambda\vec{v}]\\
 q_{u}\pm q_{v}&=[0, \vec{u}\pm\vec{v}]
@@ -305,7 +312,7 @@ $$\begin{aligned}
 $$
 R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos(\theta)+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin(\theta)\tag{3.4.6.1}
 $$
-设两个纯四元数$q_n, q_v$
+设两个纯四元数$q_n, q_{v2}$
 $$\begin{aligned}
 q_n&=[0, \vec{n}]\\
 q_{v2}&=[0, \vec{v_2}]
@@ -319,8 +326,7 @@ q_nq_{v2}&=[-\vec{n}\cdot\vec{v_2},\quad\vec{n}\times\vec{v_2}]\\
 所以$q_nq_{v2}$是一个纯四元数  
 由于3.4.6.1中都是线性计算，将3.4.6.2和3.4.6.3代入其中，可以得到$R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)$的四元数形式
 $$\begin{aligned}
-R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)&=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos\theta+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin\theta\\
-&= q_v\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\
+\quad[0, R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)]&= q_{v2}\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\
 &=(\cos\theta+q_n\sin\theta)q_{v2}\\
 &=[\cos\theta, \vec{n}\sin\theta]q_{v2}\\
 &=q(\theta, \vec{n})q_{v2}
@@ -340,7 +346,7 @@ $$
 将3.4.6.4带入3.3.2.4中，可以得到罗德里格旋转公式的四元数形式为
 $$\begin{aligned}
 R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=\vec{\boldsymbol{v}}_1+R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)\\
-&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\
+\quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\
 &=p\overline{p}q_{v1}+ppq_{v2}
 \end{aligned}\tag{3.4.6.6}
 $$
@@ -354,7 +360,7 @@ q_{v2}\overline{p}&=[0, \vec{v_2}][\cos\frac{\theta}{2},-\vec{n}\sin\frac{\theta
 \end{aligned}$$
 带入3.4.6.6，可以得到
 $$\begin{aligned}
-R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\
+\quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\
 &=p(q_{v1}+q_{v2})\overline{p}\\
 &=pq_v\overline{p}
 \end{aligned}\tag{3.4.6.7}
@@ -362,4 +368,92 @@ $$
 也就是说，对于向量$\vec{v}$，围绕单位向量$\vec{n}$旋转$\theta$，只需要构造四元数$[\cos\frac{\theta}{2}, \vec{n}\sin\frac{\theta}{2}]$，可以利用下面的等式计算旋转后的向量$\vec{v'}$
 $$
 [0, \vec{v'}]=[\cos\frac{\theta}{2}, \vec{n}\sin\frac{\theta}{2}][0,\vec{v}][\cos\frac{\theta}{2}, -\vec{n}\sin\frac{\theta}{2}]
-$$
+$$
+
+#### 3.4.7 四元数组合
+使用四元数表达旋转有一个好处就是可以实现组合、插值等计算，例如一个向量$v$经过两次旋转变化，用四元数表示分别是$q_1,q_2$，那么
+$$\begin{aligned}
+q'&=q_2(q_1q_v\overline{q_1})\overline{q_2}\\
+&=(q_2q_1)q_v(\overline{q_1}\,\overline{q_2})\\
+\end{aligned}$$
+根据公式3.4.4.4，可知
+$$
+q'=(q_2q_1)q_v(\overline{q_2q_1})
+$$
+#### 3.4.7 四元数转换为旋转矩阵
+两个四元数相乘，可以转换为同等效果的矩阵，设两个四元数
+$$\begin{aligned}
+p=a+bi+cj+dk\\
+q=s+xi+yj+zk
+\end{aligned}$$
+那么
+$$\begin{aligned}
+pq=&(a+bi+cj+dk)(s+xi+yj+zk)\\
+=&(as−bx−cy−dz)+ \\
+&(bs+ax−dy+cz)i+\\
+&(cs+dx+ay−bz)j+\\
+&(ds−cx+by+az)k\\
+\end{aligned}$$
+可以将左乘四元数$p$视作左乘矩阵$L(p)$
+$$
+L(p)=\begin{bmatrix}
+a&-b&-c&-d \\
+b&a&−d&c \\
+c&d&a&−b \\
+d&−c&b&a \\
+\end{bmatrix}
+$$
+而右乘四元数$p$视作左乘矩阵$R(q)$
+$$
+Q(q)=\begin{bmatrix}
+a&−b&−c&−d \\
+b&a&d&-c \\
+c&-d&a&b \\
+d&c&-b&a \\
+\end{bmatrix}
+$$
+那么旋转一个向量$\vec{v}$对应的四元数$q_v$的过程可以写作
+$$
+pq_v\overline{p}=L(p)R(\overline{p})q_v
+$$
+或者
+$$
+pq_v\overline{p}=R(\overline{p})L(p)q_v
+$$
+容易证明，这两个结果是一样的，经计算
+$$\begin{aligned}
+L(p)R(\overline{p})q_v&=\begin{bmatrix}
+a&-b&-c&-d \\
+b&a&−d&c \\
+c&d&a&−b \\
+d&−c&b&a \\
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+a&b&c&d \\
+-b&a&-d&c \\
+-c&d&a&-b \\
+-d&-c&b&a \\
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}\\
+&=\begin{bmatrix}
+1&0&0&0\\
+0&1-2c^2-2d^2&2bc-2ad&2ac+2bd\\
+0&2bc+2ad&1-2b^2-2d^2&2cd-2ab\\
+0&2bd-2ac&2ab+2cd&1-2b^2-2c^2
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}
+\end{aligned}
+$$
+忽略掉四元数中为0的实数部分，可以将一个旋转四元数转换为旋转矩阵
+$$
+v'=\begin{bmatrix}
+1-2c^2-2d^2&2bc-2ad&2ac+2bd\\
+2bc+2ad&1-2b^2-2d^2&2cd-2ab\\
+2bd-2ac&2ab+2cd&1-2b^2-2c^2
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}
+$$
+其中
+$$\begin{aligned}
+a&=\cos(\theta/2)\\
+b&=\sin(\theta/2)n_x\\
+c&=\sin(\theta/2)n_y\\
+d&=\sin(\theta/2)n_z
+\end{aligned}
+$$