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title: "SPH算法简介（二）: 粒子受力分析"
tags:  数学 流体 程序 算法
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# SPH算法简介（二）: 粒子受力分析

![](/images/2014/08/sph_15.gif)

SPH算法的基本设想，就是将连续的流体想象成一个个相互作用的微粒，这些例子相互影响，共同形成了复杂的流体运动，对于每个单独的流体微粒，依旧遵循最基本的牛顿第二定律。  
$$
m\vec{a}=\vec{F}\tag{2.1}
$$  
这是我们分析的基础，在SPH算法里，流体的质量是由流体单元的密度决定的，所以一般用密度代替质量  
$$
\rho\vec{a}=\vec{F}\tag{2.2}
$$  
 这里的的作用力F的量纲发生变化，正常情况下，“力”的量纲$dim F=MT^{-2}L$，而在这里$dim F=MT^{-2}L^{-2}$，后面的分析都是用这个量纲的“作用力”，这一点一定要注意。作用在一个微粒上的作用力由三部分组成  
$$
\vec{F}=\vec{F}^{external}+\vec{F}^{pressure}+\vec{F}^{viscosity}\tag{2.3}
$$  

其中 $\vec{F}^{external}$ 称为外部力，一般就是重力  

$$
\vec{F}^{external}=\rho\vec{g}\tag{2.4}
$$  

$\vec{F}^{pressure}$是由流体内部的压力差产生的作用力，试想一下在水管中流动的液体，进水口区域的压力一定会比出水口区域大，所以液体才会源源不断的流动，数值上，它等于压力场的梯度，方向由压力高的区域指向压力低的区域。  

$$
\vec{F}^{pressure}=-\nabla{p}\tag{2.5}
$$  
$\vec{F}^{viscosity}$是由粒子之间的速度差引起的，设想在流动的液体内部，快速流动的部分会施加类似于剪切力的作用力到速度慢的部分，这个力的大小跟流体的粘度系数$\mu$以及速度差有关  
$$
\vec{F}^{viscosity}=\mu\nabla^2\vec{u}\tag{2.6} 
$$  
带入公式2.2，可以得到  
$$
\rho\vec{a}=\rho\vec{g}-\nabla p+\mu\nabla^2\vec{u}\tag{2.7}
$$  
加速度形式：  
$$ 
\vec{a}=\vec{g}-\large{\frac{\nabla{p}}{\rho}}+\large{\frac{\mu\nabla^2\vec{u}}{\rho}}\tag{2.8}
$$  
如果你学习过流体力学，一定会发现上面这个公式就是[Navier-Stokes](http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations)方程的一个简单形式，但N-S方程有更严格的形式和推导过程，感兴趣的朋友可以从流体力学相关的书中找到，[这里](http://hi.baidu.com/flysea/blog/item/1742cbef924b3f30adafd55c.html)有一篇比较比较浅显的文档可以参考，经过联系作者flysea，拿到这篇文档的[原始文件](/images/2014/08/N-S.pdf)放在这里，再次感谢flysea的帮助。  
实际运算过程中，有时还要考虑表面张力的影响，所谓表面张力大家应该并不陌生，肥皂泡、毛细管等有趣的物理现象都跟表面张力有关，这个力可以简单理解为流体试图减小表面而产生的力。

![](/images/2014/08/sph_25.gif "表面张力是由于界面层流体分子受力不均衡产生的")

由于表面张力只涉及到表层的粒子，所以计算方法和上面的有所不同，这部分会在以后的章节介绍。  
经过上面的分析，我们基本上搞清楚了SPH粒子的运动计算方法，下节我们将正式开始介绍SPH算法的关键部分，如何通过光滑核函数计算粒子运动规律。