几何变换（一）

1. 线性变换

1.1 定义

假设有某种数学函数 $τ$ ，输入矢量 $\vec{u}$ ，输出的仍然是一个矢量，且满足以下条件

\begin{aligned} τ (u + v) & = τ (u) + τ (v) \\ τ (k u) & = k τ (u) \end{aligned}

那么定义 $τ$ 为线性变换

1.2 举例

比如 $τ (u_{x}, u_{y}, u_{z}) = (u_{x}^{2}, u_{y}^{2}, u_{z}^{2})$ 就不是线性变换，因为不满足第二条

1.3 使用矩阵表示

一般使用矩阵表示一个线性变换，设一个三维矢量 $\vec{v} = [x, y, z]^{T} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ ，那么对其做线性变换

\begin{matrix} (1.3.1) & \begin{aligned} τ (\vec{v}) & = τ (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \\ = τ (\vec{i}) x + τ (\vec{j}) y + τ (\vec{k}) z \\ = [\begin{array}{c} ↑ & ↑ & ↑ \\ τ (\vec{i}) & τ (\vec{j}) & τ (\vec{k}) \\ ↓ & ↓ & ↓ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \end{aligned} \end{matrix}

2. 缩放变换

2.1 定义

定义放缩变换为

S (x, y, z) = (S_{x} x, S_{y} y, S_{z} z)

用矩阵表示

S = [\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} \end{matrix}]

3. 旋转变换

以右手坐标系为例

3.1 正方向约定

描述一个旋转角度时，一般约定沿着坐标轴负方向向原点看，逆时针为正方向

3.2 围绕标准轴旋转

3.2.1 结果

围绕 $x, y, z$ 轴旋转 $θ$ 的旋转矩阵

\begin{aligned} R_{x} & = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ) & - \sin (θ) \\ 0 & \sin (θ) & \cos (θ) \end{array}] \\ R_{y} & = [\begin{array}{c} \cos (θ) & 0 & \sin (θ) \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin (θ) & 0 & \cos (θ) \end{array}] \\ R_{z} & = [\begin{array}{c} \cos (θ) & - \sin (θ) & 0 \\ \sin (θ) & \cos (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}

3.2.2 求解过程

以 $R_{z}$ 为例

标准矢量 $\vec{i} = [1, 0, 0]^{T}, \vec{j} = [0, 1, 0]^{T}, \vec{k} = [0, 0, 1]^{T},$ 经过旋转 $θ$ 后，结果为

\begin{aligned} R_{z} (\vec{i}) & = [\cos (θ), \sin (θ), 0]^{T} \\ R_{z} (\vec{j}) & = [- \sin (θ), \cos (θ), 0]^{T} \\ R_{z} (\vec{k}) & = [0, 0, 1]^{T} \end{aligned}

所以根据公式1.3.1

R_{z} = [\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) & 0 \\ \sin (θ) & \cos (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

3.3 围绕任意轴

3.3.1 结果

有穿过原点单位轴 $\vec{n}$

求围绕该轴旋转 $θ$ 的旋转矩阵

3.3.2 求解过程

将矢量 $\vec{v}$ 分解成两个矢量的和，一个是平行于 $\vec{n}$ 的分量 ${\vec{v}}_{1}$ 和垂直于 $\vec{n}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2}$

\begin{aligned} \vec{v} & = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} \\ ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ & = ∥ \vec{v} ∥ \cos (α) \\ ∥ {\vec{v}}_{2} ∥ & = ∥ \vec{v} ∥ \sin (α) \end{aligned}

由于 $\vec{n}$ 是单位矢量， $∥ \vec{n} ∥ = 1$ ，所以

\begin{matrix} (3.3.2.1) & \vec{v} \cdot \vec{n} = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{n} ∥ \cos (α) = ∥ \vec{v} ∥ \cos (α) = ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ \end{matrix}

\begin{matrix} (3.2.2.2) & ∥ \vec{v} \times \vec{n} ∥ = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{n} ∥ \sin (α) = ∥ \vec{v} ∥ \sin (α) = ∥ {\vec{v}}_{2} ∥ \end{matrix}

所以根据公式3.3.2.1， ${\vec{v}}_{1}$ 和 $\vec{n}$ 同方向，且长度和 $\vec{v} \cdot \vec{n}$ 相等，所以

\begin{matrix} (3.3.2.3) & {\vec{v}}_{1} = ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ \vec{n} = (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} \end{matrix}

由于 ${\vec{v}}_{1}$ 不受旋转影响，所以

\begin{matrix} (3.3.2.4) & R_{n} (\vec{v}) = {\vec{v}}_{1} + R_{n} ({\vec{v}}_{2}) \end{matrix}

$R_{n} ({\vec{v}}_{2})$ 可以分解成两部分，一部分是平行于 ${\vec{v}}_{2}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2} \cos (θ)$ 另一部分是垂直于 ${\vec{v}}_{2}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2} \sin (θ)$ ，联合公式3.2.2.2

\begin{matrix} (3.3.2.5) & R_{n} ({\vec{v}}_{2}) = {\vec{v}}_{2} \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{matrix}

代入3.3.2.4可以得到

\begin{matrix} (3.3.2.6) & \begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = {\vec{v}}_{1} + R_{n} ({\vec{v}}_{2}) \\ = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = {\vec{v}}_{1} + (\vec{v} - {\vec{v}}_{1}) \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) {\vec{v}}_{1} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{aligned} \end{matrix}

这个公式称为罗德里格旋转公式Rodrigues' rotation formula,使用以下方法得到其矩阵形式

3.3.3 一般形式

\begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = \vec{v} - \vec{v} + \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} - (1 - \cos (θ)) \vec{v} + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - \vec{v}] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - (\vec{n} \cdot \vec{n}) \vec{v}] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{aligned}

根据矢量三重积公式，可以得到

(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - (\vec{n} \cdot \vec{n}) \vec{v} = \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{v})

所以

R_{n} (\vec{v}) = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{v})] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ)

使用向量 $\vec{n}$ 的叉乘矩阵 $[n]_{\times}$ 来代替叉乘，这里记矩阵 $M_{n}$ 为向量 $\vec{n}$ 的叉积矩阵

M_{n} = [\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix}]

使用矩阵形式表达罗德里格旋转公式

\begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = I \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [M_{n} (M_{n} \vec{v})] + M_{n} \vec{v} \sin (θ) \\ = [I + (1 - \cos (θ)) M_{n}^{2} + M_{n} \sin (θ)] \vec{v} \end{aligned}

所以矩阵形式的罗德里格旋转公式的公式为

R_{n} = I + M_{n}^{2} (1 - \cos (θ)) + M_{n} \sin (θ)

3.3.4 三维行列式

设 $\vec{n} = [x, y, z]^{T}, c = \cos (θ), s = \sin (θ)$ 分别将 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 带入3.3.2.6，得到

\begin{aligned} R_{n} (\vec{i}) & = c \vec{i} + (1 - c) (\vec{i} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{i}) s \\ = [c + (1 - c) x^{2}, (1 - c) x y + s z, (1 - c) x z - s y]^{T} \\ R_{n} (\vec{j}) & = [(1 - c) x y - s z, c + (1 - c) y^{2}, (1 - c) y z + s x]^{T} \\ R_{n} (\vec{k}) & = [(1 - c) x z + s y, (1 - c) y z - s x, c + (1 - c) z^{2}]^{T} \end{aligned}

代入公式1.3.1得到

R_{n} = [\begin{matrix} c + (1 - c) x^{2} & (1 - c) x y - s z & (1 - c) x z + s y \\ (1 - c) x y + s z & c + (1 - c) y^{2} & (1 - c) y z - s x \\ (1 - c) x z - s y & (1 - c) y z + s x & c + (1 - c) z^{2} \end{matrix}]