一道数学趣题

在微博上看到一道很有意思的数学问题，原题是：如果椭圆游泳池有一英尺宽的边缘，问：边缘外围是否仍为椭圆？ 这个问题背后还有个八卦故事，数学家Steven Strogatz是非线性动力学大师级人物，广为人知的是他和自己的高中数学老师Don Joffray有着深厚的友谊，这位老师是把他带入数学殿堂的引路人，一次他在接受采访时，Strogatz讲到自己和这位老师的故事，他们即使在毕业后也一直保持着联系，一开始是他写信请教老师问题，但转折点就是这个“elliptical pool”问题，老师第一次被问住了，反而是他给老师解释，这令他激动不已。
有趣的问题就是这样，看起来足够简单，却要费一番脑筋才能想清楚。这里先定义一个概念，“一英尺宽的边缘”的数学含义，是指在椭圆的每个点的法线方向上扩展一定的长度，微博上另一位博主给出了一个很相像的动态图来描述，这里直接借用一下：

这个问题有两种解决思路，一种是纯粹从数学公式入手，这里给出一个解法，首先对于任意一个椭圆，用参数函数表达：

x = a \cos θ, y = b \sin θ, 0 \leq θ \leq 2 π

利用微分知识可知，对于平面上任意一个连续的曲线函数，如果其参数方程表达为 $x = x (t), y = y (t)$ ,那么在任意点 $P_{0}$ 点处的法线方程可以表达为

\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = - \frac{x^{'} (t_{0})}{y^{'} (t_{0})}

所以对于椭圆上任意一点 $(x_{0}, y_{0})$ ,它的法线方程是

\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} = \frac{a \sin θ}{b \cos θ}

假设轮廓的宽度为 $K$ ,那么椭圆上的点 $(x, y)$ 对应的外廓的点 $(x^{'}, y^{'})$ 的方程为

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x^{'} & = a \cos θ + K \frac{b \cos θ}{\sqrt{(b \cos θ)^{2} + (a \sin θ)^{2}}} \\ y^{'} & = b \sin θ + K \frac{a \sin θ}{\sqrt{(b \cos θ)^{2} + (a \sin θ)^{2}}} \end{cases} \end{matrix}

如果这个轮廓是一个椭圆的话，那么必然 $(x^{'}, y^{'})$ 满足椭圆方程

\begin{matrix} (2) & (\frac{x^{'}}{a + K})^{2} + (\frac{y^{'}}{b + K})^{2} = 1 \end{matrix}

把公式1代入2中既可发现只有在 $a = b$ 时公式才成立，所这个轮廓不是椭圆。
当然，如果只是想知道答案的话，可以不用这么麻烦，还有一种思路就是利用极端情况。设想一下这个椭圆极其“扁”，那么它的形状像是两条紧紧贴在一起的线段，不难想象，如果在这个椭圆外扩展一个宽度，那么新的轮廓的的上下边缘类似于两条分开的平行线段，但两端却无法平滑连在一起，这个形状类似于一个圆角的矩形，显然不是椭圆，下面是一个用Mathematica模拟的动态图