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title: "SPH算法简介（一）: 数学基础"
tags:  数学 流体 程序 算法
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# SPH算法简介（一）: 数学基础

SPH([Smoothed Particle Hydrodynamics](http://en.wikipedia.org/wiki/Smoothed_Particle_Hydrodynamics))算法是一种流体模拟算法，他的特点是简单快速，可以用在例如游戏这样的实时的交互软件中。SPH算法虽然简单，但要完全搞明白其中的原理和实现方法，也不是易事，写这个系列希望能全面介绍一下相关的内容，如果你搜索到这里，可以仔细看一下这个系列，希望能帮到你。  
烟雾、海浪、水滴…，这些司空见怪的自然现象其实有着非常复杂的数学规律，对于流体的研究，有两种完全不同的视角，分别是欧拉视角和拉格朗日视角。欧拉视角的坐标系是固定的，如同站在河边观察河水的流动一样，用这种视角分析流体需要建立网格单元，还会涉及到有限元等复杂的工程方法，一般用在离线的应用中。而拉格朗日视角则将流体视为流动的单元，例如将一片羽毛放入风中，那么羽毛的轨迹可以帮我们指示空气的流动规律。  

![](/images/2014/08/sph_1.gif "欧拉视角 和 拉格朗日视角")
 
SPH算法是典型的拉格朗日视角，它的基本原理就是通过粒子模拟流体的运动规律，然后再转换成网格进行流体渲染。  
<div align="center">
<table align="center" class="invisibletable">
<tbody>
<tr valign="center">
<td ><img src="/images/2014/08/sph_2.jpg" ></td>
<td > 

$\rightarrow$

</td>
<td ><img src="/images/2014/08/sph_3.jpg" ></td>
<td > 

$\rightarrow$

</td>
<td ><img src="/images/2014/08/sph_4.jpg" ></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>

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在正式开始之前，需要把SPH算法涉及到的相关数学概念介绍一下，这些概念基本上都是大学数学中的内容，所以不用紧张，翻翻书就能想起来。

#### **标量场和矢量场**
如果空间区域内一点$M$，都有一个确定的数量$f_M$，则称这个空间区域内确定了一个标量场，如果空间区域内任意一点$M$，都有一个确定的向量$\vec{F_M}$，则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如，液体中的密度，就是标量场，而速度，就是矢量场

#### **偏导数**
对于多元函数$z=f(x,y)$，定义$z$在$(x_0,y_0)$处相对于$x$的偏导数为  
$$
\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\triangle x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x}}\tag{1.1}
$$  
例如，定义$z=x^2+2xy+y^3$，那么$\partial z/\partial x=2x+2y,\partial z/\partial y=2x+3y^2$

#### **哈密顿算子**
哈密顿算子$\nabla$在流体力学中是如此重要，以至于很多地方将这个符号作为流体力学的标志，所以这里要着重介绍一下，所谓“算子”，就是那种不能单独存在，必须和其他符号放在一起的一种数学符号，例如微分中的那个“$d$”。哈密顿算子的定义如下：  
$$
\displaystyle{\nabla\equiv\vec{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial}{\partial z}}\tag{1.2}
$$  
哈密顿算子有很多有趣的特性，它本身虽然并不是一个矢量，但很多运算确实可以把它视为一个矢量，例如把它作用在一个标量场$A=f(x,y,z)$上，那么  
$$
\displaystyle{\nabla A=\vec{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial f}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial f}{\partial z}}\tag{1.3}
$$  
这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法，得到的$\nabla A$是一个矢量场，称为$A$的“梯度”，顾名思义，梯度的含义就是标量场$A$在某处变化快慢和方向，比如一个标量场$H(x,y)$是一座高山在$(x,y)$处的高度，则H的梯度是该高山在某处陡峭的程度，并且方向指向高处。  

![](/images/2014/08/sph_8.gif "上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示")

而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场$\vec{A}$上，得到的$\nabla\cdot\vec{A}$称为矢量场$A$的“散度”，散度的计算和矢量的点积运算相似，得到的是一个标量场。  
$$
\begin{aligned}
\nabla\cdot\vec{A}&=\left(\vec{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(\vec{x}A_x+\vec{y}A_y+\vec{z}A_z) \\
&=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{aligned}
\tag{1.4}$$  
散度的意义也很明显，就是描述一个矢量场“发散”的程度，例如下面的两个矢量场，左边的有很大的散度，而右边的散度为0  

![](/images/2014/08/sph_10.gif "两个散度差别很大的矢量场")

#### **拉普拉辛算子**
拉普拉辛算子$\nabla^2$是二阶微分算子，有时也可写作$\Delta$或者$\nabla\cdot\nabla$  
$$
\displaystyle{\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}}\tag{1.5}
$$  
例如对于$A=f(x,y,z)$  
$$
\displaystyle{\nabla^2A=\frac{\partial^2A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A}{\partial z^2}}\tag{1.6}
$$