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clickable" type="button"><!----><span class="vp-sidebar-title">数学基础</span><span class="vp-arrow end"></span></button><!----></section></li><li><section class="vp-sidebar-group"><button class="vp-sidebar-header clickable active" type="button"><!----><span class="vp-sidebar-title">光栅化</span><span class="vp-arrow down"></span></button><ul class="vp-sidebar-links"><li><a class="route-link route-link-active auto-link vp-sidebar-link active" href="/note/graphics/rasterization/raster01.html" aria-label="基础"><!---->基础<!----></a></li><li><a class="route-link auto-link vp-sidebar-link" href="/note/graphics/rasterization/raster02.html" aria-label="边界判定"><!---->边界判定<!----></a></li><li><a class="route-link auto-link vp-sidebar-link" href="/note/graphics/rasterization/raster03.html" aria-label="像素遍历"><!---->像素遍历<!----></a></li></ul></section></li><li><section class="vp-sidebar-group"><button class="vp-sidebar-header clickable" type="button"><!----><span class="vp-sidebar-title">光照模型</span><span class="vp-arrow end"></span></button><!----></section></li><li><section class="vp-sidebar-group"><button class="vp-sidebar-header clickable" type="button"><!----><span class="vp-sidebar-title">环境光渲染</span><span class="vp-arrow end"></span></button><!----></section></li></ul></section></li><li><section class="vp-sidebar-group"><button class="vp-sidebar-header clickable" type="button"><!----><span class="vp-sidebar-title">编程语言</span><span class="vp-arrow end"></span></button><!----></section></li></ul></section></li></ul><!----></aside><!--[--><main id="main-content" class="vp-page"><!--[--><!----><!----><nav class="vp-breadcrumb disable"></nav><div class="vp-page-title"><h1><!---->基础</h1><!----><hr></div><!----><div class="" vp-content><!----><div id="markdown-content"><h1 id="基础" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#基础"><span>基础</span></a></h1><hr><h2 id="_1-坐标系统" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_1-坐标系统"><span>1. 坐标系统</span></a></h2><h3 id="_1-1-坐标系统" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_1-1-坐标系统"><span>1.1 坐标系统</span></a></h3><p>光栅化的本质，是将经过摄像机变换后物体从NDC坐标，转换到二维屏幕空间坐标系(screen space)，并离散成一个个像素点的过程。</p><figure><img src="/assets/NDC_axis-GLFMlBwT.svg" alt="" tabindex="0" loading="lazy"><figcaption></figcaption></figure><figure><img src="/assets/screenspace_axis-nxm5SnWD.svg" alt="" tabindex="0" loading="lazy"><figcaption></figcaption></figure><p>屏幕空间的坐标系通常左下角为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.029ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2222.7 1000" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.7,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1833.7,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>点，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>轴向右，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>轴向上，每个像素可以视作1x1的小方块，像素的中心点的位置是像素左下角位置加上0.5</p><h2 id="_2-三角形" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_2-三角形"><span>2. 三角形</span></a></h2><h3 id="_2-1-顺时针和逆时针" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_2-1-顺时针和逆时针"><span>2.1 顺时针和逆时针</span></a></h3><p>在屏幕空间上，一个二维的三角形，可以使用3个二维坐标表示<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.765ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 13598.3 1000" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(675,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1078.6,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1467.6,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 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data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(675,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>，在一般情况下，都是使用逆时针。</p><h3 id="_2-2-面积" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_2-2-面积"><span>2.2 面积</span></a></h3><p>根据<a class="route-link" href="/note/graphics/math/math_01.html#_2-5-2-%E5%8F%89%E7%A7%AF%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%84%8F%E4%B9%89">叉积的几何意义</a>，三角形面积同样可以利用叉积计算</p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-4.362ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="47.78ex" height="9.855ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2428 21118.8 4356" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1086)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 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href="/note/graphics/math/transform_04.html#_10-%E9%80%8F%E8%A7%86%E6%8A%95%E5%BD%B1%E5%8F%98%E6%8D%A2-perspective-projective-transformations">透视投影变换</a>后，重心坐标会发生变换</p><figure><img src="/assets/bc_corrected_show-DayveOQL.svg" alt="" tabindex="0" loading="lazy"><figcaption></figcaption></figure><p>比如上面这个长方体的侧面，原先均匀分布的竖线，经过透视变换后，在屏幕上不再是均匀分布，说明重心坐标发生了变化。</p><figure><img src="/assets/bc_corrected-C-umE1Sw.svg" alt="" tabindex="0" loading="lazy"><figcaption></figcaption></figure><p>设摄像机空间中的三角形<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.133ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2269 738" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 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