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href="#一个简单的dh密钥协商算法的实现"><span>一个简单的DH密钥协商算法的实现</span></a></h1><p>密码的管理可以说是加密体系中最为性命攸关的问题，在计算机发明之前，加密方法只能使用简单的移位、查表等简单的方法，这种级别的加密算法，基本上都无法逃脱被破解的命运，比如二战中德国发明的“英格玛”可以说是前计算机时代人类所发明的最为复杂的加密方法了，但以图灵为首的盟军科学家们，仍然可以用粗暴的暴力破解法硬生生从密文中破解出原文出来。<br> 进入计算机时代后，加密算法的复杂度有了质的飞跃，相对应的破解难度也不断加大，到了如今，像AES这样变态的加密算法，已经比英格玛不知复杂了多少个数量级，在没有密码的情况下，想直接从密文中破解出明文，即使图灵重生也全无可能了。于是，密钥本身的管理变成了加密环节中最脆弱的环节，“如何安全的把密码告诉别人”成了一个难题，比如，如果你需要发给同事一封包含加密附件的邮件，一般都会把密码放在另外一封邮件中发送，或者用其他方式告诉他，尽管这样做也并不安全，但总比那种傻乎乎的把密码和加密附件直接放在一起强多了。<br> 1976年，美国的两位数学家<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Whitfield_Diffie" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Whitfield Diffie</a>和<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Martin_Hellman" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Martin Hellman</a>率先发表了一种解决该密钥传输的方法，因此这种方法被大家称为<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Diffie%E2%80%93Hellman_key_exchange" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Diffie–Hellman key exchange</a>算法，这种算法提出这么一个做法：“在加密通讯之前双方各自生成密码的一部分，然后互换后合成起来，作为最终的密码”。这就是密钥协商，维基百科上使用了一个很有趣的比喻，就是颜料的混合：<br> 设想这样一个场景，Alice(A)和Bob(B)，他们想在不见面的情况下秘密约定出一种颜色，但他们互相沟通的信息都会被公开，应该怎么办呢？</p><table class="gridtable" style="width:100%;text-align:center;border-collapse:collapse;"><tbody><tr><th rowspan="2" width="20%"></th><th colspan="2" style="text-align:center;">Alice</th><th rowspan="2" width="15%"></th><th colspan="2" style="text-align:center;">Bob</th></tr><tr><th style="text-align:center;">私密信息</th><th style="text-align:center;">公开信息</th><th style="text-align:center;">公开信息</th><th style="text-align:center;">私密信息</th></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">A和B首先约定好公开的一种颜色，比如黄色</td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_01.png"></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_01.png"></td><td></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">A，B各自挑选出一种私密的颜色，比如橙色和兰色</td><td><img src="/images/2015/05/dh_02.png"></td><td></td><td></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_03.png"></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">A，B各自将两种颜色混合起来</td><td><img src="/images/2015/05/dh_01_add_02.png"></td><td><img src="/images/2015/05/dh_04.png"></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_05.png"></td><td><img src="/images/2015/05/dh_01_add_03.png"></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_07.png"></td><td></td><td></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">双方交换混合后的颜色</td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_05.png"></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_04.png"></td><td></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">A，B各自将自己的私密颜色再次混入得到的颜色中</td><td><img src="/images/2015/05/dh_05_add_02.png"></td><td></td><td></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_04_add_03.png"></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">现在A，B得到了一种相同的颜色，这种颜色是由一份黄色、一份橙色、一份兰色混合而来，但外界无法得知</td><td><img src="/images/2015/05/dh_08.png"></td><td></td><td></td><td></td><td><img src="/images/2015/05/dh_08.png"></td></tr></tbody></table><p>秘密在于，颜色混合是一种“不可逆”的操作，当双方交换颜色时，尽管我们知道他们交换的颜色都是由一份黄色和另一份其他颜色混合得到的，但我们还是无法或者很难得到他们的私密颜色。而DH秘钥交换的原理非常相似，也是利用了数学上的一个“不可逆”的运算，就是离散对数（Discrete logarithm）<br> 乘方得逆运算称为对数运算，比如已知<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.514ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 3321 759" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><path data-c="37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>g</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></p></td><td></td><td><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.223ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1424.7 647" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></p></td></tr><tr><td style="vertical-align:middle;">各自计算出自己的公钥A,B</td><td></td><td><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.394ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.471ex" height="1.771ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -608.6 5070.4 782.8" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle" transform="scale(0.85)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><path 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d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z" transform="translate(500,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6991,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8046.8,0)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>S</mi><mo>=</mo><msup><mn>8</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>15</mn></mrow></msup><mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo><mn>23</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><p>当然，实际运算中不可能取这么小的数值，比如如果需要128bit长度的密钥，那么p值需要是128bit长度的质数，由于有模运算，所获得的密钥不会大于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>，所以<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>值可以是128bit数字中最大的一个质数，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position:relative;"><svg style="vertical-align:-0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>可以随便设置一个小的质数即可。<br> 我在<a href="https://github.com/thejinchao/dhexchange" target="_blank" rel="noopener noreferrer">github</a>上写了一个DH密钥交换算法，支持128bit长度密钥运算，纯C完成，没有引用其他库，只有两个接口，用法如下</p><div class="language-cpp" data-highlighter="prismjs" data-ext="cpp" data-title="cpp"><pre><code><span class="line"><span class="token comment">//Alice获得随机私钥a并计算出对应的公钥A</span></span>
<span class="line">DH_KEY alice_private<span class="token punctuation">,</span> alice_public<span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token function">DH_generate_key_pair</span><span class="token punctuation">(</span>alice_public<span class="token punctuation">,</span> alice_private<span class="token punctuation">)</span><span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token comment">//Bob获得随机私钥b并计算出对应的公钥B</span></span>
<span class="line">DH_KEY bob_private<span class="token punctuation">,</span> bob_public<span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token function">DH_generate_key_pair</span><span class="token punctuation">(</span>bob_public<span class="token punctuation">,</span> bob_private<span class="token punctuation">)</span><span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token comment">//交换公钥后Alice计算出加密用密钥s</span></span>
<span class="line">DH_KEY alice_secret<span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token function">DH_generate_key_secret</span><span class="token punctuation">(</span>alice_secret<span class="token punctuation">,</span> alice_private<span class="token punctuation">,</span> bob_public<span class="token punctuation">)</span><span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token comment">//Bob计算出加密用密钥s</span></span>
<span class="line">DH_KEY bob_secret<span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"><span class="token function">DH_generate_key_secret</span><span class="token punctuation">(</span>bob_secret<span class="token punctuation">,</span> bob_private<span class="token punctuation">,</span> alice_public<span class="token punctuation">)</span><span class="token punctuation">;</span></span>
<span class="line"></span></code></pre></div></div><!--[--><!--]--></div><footer class="vp-page-meta"><!----><div class="vp-meta-item git-info"><!----><!----></div></footer><nav class="vp-page-nav" aria-label="page navigation"><a class="route-link auto-link prev" href="/blog/2025/02/RandRound.html" aria-label="如何生成一个随机的圆形"><!--[--><div class="hint"><span class="arrow left"></span> Prev</div><div class="link"><span>如何生成一个随机的圆形</span></div><!--]--></a><a class="route-link auto-link next" href="/blog/2025/02/SegmentCircle.html" aria-label="如何计算线段和圆的交点"><!--[--><div class="hint">Next <span class="arrow right"></span></div><div class="link"><span>如何计算线段和圆的交点</span></div><!--]--></a></nav><!--[--><!--]--></main><!--]--></div><!--[--><!----><!--]--><!--]--></div>
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</body>
</html>
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