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id="_1-4-张量-tensor" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_1-4-张量-tensor"><span>1.4 张量(Tensor)</span></a></h3><p>如果把标量理解为0维数据，矢量理解为1维数据，矩阵理解为2维数据，那么更高维的数据可以称为“张量(Tensor)”，例如一张图片数据维3维张量(<code>x</code>,<code>y</code>,<code>channel</code>)，一批图片数据为4维张量(<code>number</code>,<code>x</code>, <code>y</code>, <code>channel</code>)</p><h2 id="_2-基本运算" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_2-基本运算"><span>2. 基本运算</span></a></h2><h3 id="_2-1-转置-transpose" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_2-1-转置-transpose"><span>2.1 转置(Transpose)</span></a></h3>',4)),Q("p",null,[a[37]||(a[37]=t("矩阵的转置是以对角线为轴的镜像,将矩阵",-1)),Q("mjx-container",D,[(l(),T("svg",j,[...a[33]||(a[33]=[Q("g",{stroke:"currentColor",fill:"currentColor","stroke-width":"0",transform:"scale(1,-1)"},[Q("g",{"data-mml-node":"math"},[Q("g",{"data-mml-node":"mi"},[Q("path",{"data-c":"1D468",d:"M65 0Q45 0 45 18Q48 52 61 60Q65 62 81 62Q155 62 165 74Q166 74 265 228T465 539T569 699Q576 707 583 709T611 711T637 710T649 700Q650 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它的生成子空间就是这两个向量所在的平面",-1))]),a[307]||(a[307]=Q("h3",{id:"_4-2-线性相关-linearly-dependent-和线性无关-linearly-independent",tabindex:"-1"},[Q("a",{class:"header-anchor",href:"#_4-2-线性相关-linearly-dependent-和线性无关-linearly-independent"},[Q("span",null,"4.2 线性相关(Linearly Dependent)和线性无关(Linearly Independent)")])],-1)),a[308]||(a[308]=Q("p",null,[t("如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量称为线性无关,反之则成为线性相关"),Q("br"),t(" 例如在3维空间中，如果3个向量不共面，则是线性无关的，如果共面，则是线性相关的")],-1)),a[309]||(a[309]=Q("h2",{id:"_5-范数-norm",tabindex:"-1"},[Q("a",{class:"header-anchor",href:"#_5-范数-norm"},[Q("span",null,"5. 范数(Norm)")])],-1)),Q("p",null,[a[119]||(a[119]=t("范数用来衡量一个向量的“长度/大小/距离”这个概念，例如常用的",-1)),Q("mjx-container",y1,[(l(),T("svg",b1,[...a[115]||(a[115]=[s('<g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 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709T611 711T637 710T649 700Q650 697 695 380L741 63L784 62H827Q839 50 839 45L835 29Q831 9 827 5T806 0Q803 0 790 0T743 1T657 2Q585 2 547 1T504 0Q481 0 481 17Q484 54 497 60Q501 62 541 62Q580 62 580 63Q580 68 573 121T564 179V181H308L271 124Q236 69 236 67T283 62H287Q316 62 316 46Q316 26 307 8Q302 3 295 0L262 1Q242 2 168 2Q119 2 93 1T65 0ZM537 372Q533 402 528 435T521 486T518 504V505Q517 505 433 375L348 244L451 243Q555 243 555 244L537 372Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1146.8,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2202.6,0)"><path data-c="1D47D" d="M401 686Q415 680 415 668Q415 651 404 629Q398 624 356 624Q318 624 318 623Q318 620 337 508T377 284L397 174L472 285Q548 396 623 507T699 620Q698 621 652 624Q634 624 627 627T619 641Q619 648 622 658Q627 677 631 681T650 686Q654 686 686 685T766 684Q794 684 823 684T858 685Q874 685 878 683T886 671Q886 667 882 651Q877 632 873 628T850 624Q800 624 779 617Q774 617 770 613Q767 610 560 304T350 -5Q346 -9 332 -16H306H291Q270 -16 267 -2Q267 -1 260 37T238 161T210 313L156 624H116H94Q62 624 62 642Q66 678 78 684Q82 686 99 686Q144 684 246 684Q330 684 368 685L401 686Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3088.6,0)"><path data-c="1D6B2" d="M285 0Q267 3 154 3Q56 3 47 0H40V62H131Q131 63 167 160T244 369T321 578T359 678Q366 698 393 698H404H413Q437 698 446 678Q448 672 560 369T674 62H765V0H754Q733 3 604 3Q453 3 429 0H416V62H461L507 63L355 470Q353 468 279 265L203 63L249 62H294V0H285Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3894.6,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D47D" d="M401 686Q415 680 415 668Q415 651 404 629Q398 624 356 624Q318 624 318 623Q318 620 337 508T377 284L397 174L472 285Q548 396 623 507T699 620Q698 621 652 624Q634 624 627 627T619 641Q619 648 622 658Q627 677 631 681T650 686Q654 686 686 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61V578Z"></path></g></g></g></g></g>',1)])])),a[228]||(a[228]=Q("mjx-assistive-mml",{unselectable:"on",display:"block"},[Q("math",{xmlns:"http://www.w3.org/1998/Math/MathML",display:"block"},[Q("mi",{mathvariant:"bold-italic"},"A"),Q("mo",null,"="),Q("mi",{mathvariant:"bold-italic"},"V"),Q("mi",{mathvariant:"bold"},"Λ"),Q("msup",null,[Q("mi",{mathvariant:"bold-italic"},"V"),Q("mrow",{"data-mjx-texclass":"ORD"},[Q("mo",null,"−"),Q("mn",null,"1")])])])],-1))]),a[320]||(a[320]=s(`<p>使用numpy求矩阵的特征向量和特征值</p><div class="language-python line-numbers-mode" data-highlighter="shiki" data-ext="python" style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf;--shiki-light-bg:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;"><pre class="shiki shiki-themes one-light one-dark-pro vp-code"><code class="language-python"><span class="line"><span style="--shiki-light:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#7F848E;--shiki-dark-font-style:italic;"># 定义一个 3x3 矩阵</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">A </span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#56B6C2;">=</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;"> np.</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#61AFEF;">array</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">([[</span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">3</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">4</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">7</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">],</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">              [</span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">0</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">2</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">5</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">],</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">              [</span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">1</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">9</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">9</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">]])</span></span>
<span class="line"></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#7F848E;--shiki-dark-font-style:italic;"># 计算特征值、特征向量</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">eigenvalues, eigenvectors </span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#56B6C2;">=</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;"> np.linalg.</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#61AFEF;">eig</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(A)</span></span>
<span class="line"></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2;">print</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(</span><span style="--shiki-light:#50A14F;--shiki-dark:#98C379;">&quot;特征值：&quot;</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">)</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2;">print</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(eigenvalues)</span></span>
<span class="line"></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2;">print</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(</span><span style="--shiki-light:#50A14F;--shiki-dark:#98C379;">&quot;</span><span style="--shiki-light:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2;">\\n</span><span style="--shiki-light:#50A14F;--shiki-dark:#98C379;">特征向量（每一列是一个）：&quot;</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">)</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2;">print</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(eigenvectors)</span></span></code></pre><div class="line-numbers" aria-hidden="true" style="counter-reset:line-number 0;"><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div><div class="line-number"></div></div></div><h2 id="_8-奇异值分解-singular-value-decomposition-svd" tabindex="-1"><a class="header-anchor" href="#_8-奇异值分解-singular-value-decomposition-svd"><span>8. 奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)</span></a></h2>`,3)),Q("p",null,[a[231]||(a[231]=t("奇异值分解是另一种分解矩阵的方法，不同于特征分解只能用于方阵，奇异值分解可以应用与任何形状的矩阵.",-1)),a[232]||(a[232]=Q("br",null,null,-1)),a[233]||(a[233]=t(" 经过奇异值分解，矩阵",-1)),Q("mjx-container",z2,[(l(),T("svg",K2,[...a[229]||(a[229]=[Q("g",{stroke:"currentColor",fill:"currentColor","stroke-width":"0",transform:"scale(1,-1)"},[Q("g",{"data-mml-node":"math"},[Q("g",{"data-mml-node":"mi"},[Q("path",{"data-c":"1D468",d:"M65 0Q45 0 45 18Q48 52 61 60Q65 62 81 62Q155 62 165 74Q166 74 265 228T465 539T569 699Q576 707 583 709T611 711T637 710T649 700Q650 697 695 380L741 63L784 62H827Q839 50 839 45L835 29Q831 9 827 5T806 0Q803 0 790 0T743 1T657 2Q585 2 547 1T504 0Q481 0 481 17Q484 54 497 60Q501 62 541 62Q580 62 580 63Q580 68 573 121T564 179V181H308L271 124Q236 69 236 67T283 62H287Q316 62 316 46Q316 26 307 8Q302 3 295 0L262 1Q242 2 168 2Q119 2 93 1T65 0ZM537 372Q533 402 528 435T521 486T518 504V505Q517 505 433 375L348 244L451 243Q555 243 555 244L537 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",-1)),Q("mjx-container",x3,[(l(),T("svg",u3,[...a[269]||(a[269]=[Q("g",{stroke:"currentColor",fill:"currentColor","stroke-width":"0",transform:"scale(1,-1)"},[Q("g",{"data-mml-node":"math"},[Q("g",{"data-mml-node":"mi"},[Q("path",{"data-c":"1D449",d:"M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 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style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#56B6C2;">=</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;"> np.</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#61AFEF;">array</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">([[</span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">1</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">2</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">3</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">],</span></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">              [</span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">4</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">5</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">, </span><span style="--shiki-light:#986801;--shiki-dark:#D19A66;">6</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">]])</span></span>
<span class="line"></span>
<span class="line"><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">U, S, </span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#D19A66;">VT</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#56B6C2;"> =</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;"> np.linalg.</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#61AFEF;">svd</span><span style="--shiki-light:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF;">(A)</span></span>
<span class="line"></span>
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