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数学基础(二）
3. 矩阵
3.1 定义
一个$m\times n$的矩阵$\boldsymbol A$是一个有$m$行$n$列的数组， $\boldsymbol A_{ij}$表示第$i$行第$j$列的元素， $\boldsymbol A_{i,}$表示第$i$行所有元素， $\boldsymbol A_{,j}$表示第$j$列所有元素，
\boldsymbol A=\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\leftarrow & A_{1,*} & \rightarrow \\
\leftarrow & A_{2,*} & \rightarrow \\
\leftarrow & A_{3,*} & \rightarrow
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\uparrow & \uparrow & \uparrow \\
A_{*,1} & A_{*,2} & A_{*,3} \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow
\end{bmatrix}
3.2 加法
如果矩阵$\boldsymbol A$是一个$m\times n$的矩阵，矩阵$\boldsymbol B$是一个$m\times n$的矩阵，那么$\boldsymbol A +\boldsymbol B$是一个$m\times n$的矩阵$\boldsymbol C$，并且
C_{ij}=A_{ij}+ B_{ij}
3.3 乘法
3.3.1 定义
矩阵之间的乘法，如果矩阵$\boldsymbol A$是一个$m\times n$的矩阵，矩阵$\boldsymbol B$是一个$n\times p$的矩阵，那么$\boldsymbol{AB}$是一个$m\times p$的矩阵$\boldsymbol C$，并且
C_{ij}=A_{i,*}\cdot B_{*,j}
一般来说\boldsymbol{AB}\neq \boldsymbol{BA}
3.3.2 举例
$$\begin{split} \boldsymbol{AB}&=\begin{bmatrix} -1&5&4\3&2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&1&0\0&-2&1\-1&2&3 \end{bmatrix}\ &= \begin{bmatrix} (-1,5,-4)\cdot(2,0,-1) & (-1,5,-4)\cdot(1,-2,2) & (-1,5,-4)\cdot(0,1,3)\ (3,2,1)\cdot(2,0,-1) & (3,2,1)\cdot(1,-2,2) & (3,2,1)\cdot(1,-2,2) \end{bmatrix}\ &=\begin{bmatrix} 2&-19&-7\ 5&1&5 \end{bmatrix} \end{split}
#### 3.3.3 矢量和矩阵相乘
以三维为例
$$\begin{split}
\vec{\boldsymbol u}\boldsymbol A &=
[x,y,z]\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}
\end{bmatrix}\\&=[x,y,z]\begin{bmatrix}
\uparrow & \uparrow & \uparrow \\
A_{*,1} & A_{*,2} & A_{*,3} \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow
\end{bmatrix}\\&=x\boldsymbol{A}_{*,1}+y\boldsymbol{A}_{*,2}+z\boldsymbol{A}_{*,3}
\end{split}
3.4 转置矩阵
3.4.1 定义
将一个$m\times n$的矩阵$\boldsymbol A$的行和列颠倒，变成一个$n\times m$的矩阵，成为$\boldsymbol A$的转置矩阵，记为\boldsymbol A^T
3.4.2 举例
\boldsymbol A=\begin{bmatrix}
2&-1&8\\3&6&-4\end{bmatrix}\\
\boldsymbol A^T=\begin{bmatrix}
2&3\\-1&6\\8&-4
\end{bmatrix}
3.4.3 正交矩阵
如果一个矩阵满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{I}$，则称$\boldsymbol{A}$为正交矩阵(Orthogonal matrix)。 正交矩阵满足如下特性：
- 必须是一个方阵，即n行n列；
- 矩阵中的每一列若视作向量，则这些向量均两两相互垂直；
- 矩阵中的每一列若视作向量，则这些向量的长度均为1；
3.5 基本运算规则
\boldsymbol A+\boldsymbol B=\boldsymbol B+\boldsymbol A(\boldsymbol A+\boldsymbol B)+\boldsymbol C=\boldsymbol A+(\boldsymbol B+\boldsymbol C)r(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=r\boldsymbol A+r\boldsymbol B(r+s)\boldsymbol A=r\boldsymbol A+s\boldsymbol A\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{AC}(\boldsymbol A+\boldsymbol B)\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC}(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T(c\boldsymbol A)^T=c\boldsymbol A^T(\boldsymbol{AB})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T(\boldsymbol{A}^T)^T=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{-1})^T=(\boldsymbol{A}^T)^{-1}对于矩阵,交换律不生效，大部分情况下\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}
3.6 单位矩阵
3.6.1 定义
一个$n\times n$的矩阵，从左上角到右下角都是1，其他元素都是0，称为单位矩阵，用$\boldsymbol I$表示，如果$\boldsymbol A$是一个$m\times n$矩阵，$\boldsymbol B$是一个$n\times p$矩阵，那么
\boldsymbol{AI}=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}
3.7 子式矩阵(Minor Matrix)
3.7.1 定义
对于一个$n\times n$的矩阵，把第i行和第j列去掉之后的子矩阵，称为Minor Matrix(中文翻译比较乱），记为$\overline{\boldsymbol A}_{ij}$，比如对于一个3x3的矩阵
\boldsymbol A=\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}
\end{bmatrix}
\overline{\boldsymbol A}_{11}=\begin{bmatrix}
A_{22}&A_{23}\\
A_{32}&A_{33}
\end{bmatrix},
\overline{\boldsymbol A}_{13}=\begin{bmatrix}
A_{21}&A_{22}\\
A_{31}&A_{32}
\end{bmatrix}
3.8 行列式（Determinant of a Matrix）
3.8.1 定义
一个矩阵$\boldsymbol A$的行列式是一个数值，记为\det{\boldsymbol A}
\det{\boldsymbol A}=\sum_{j=1}^n(\boldsymbol{A}_{1j}(-1)^{1+j}\det{\overline{\boldsymbol A}}_{1j})
当矩阵是一个1x1的矩阵时，\det{[A_{11}]}=A_{11}
3.8.2 举例
\det{\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}\\
A_{21}&A_{22}
\end{bmatrix}}=A_{11}\det[A_{22}]-A_{12}\det[A_{21}]=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
$$\begin{split} &\det{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}}\&=A_{11}\det\begin{bmatrix} A_{22}&A_{23}\ A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}-A_{12}\det\begin{bmatrix} A_{21}&A_{23}\ A_{31}&A_{33} \end{bmatrix}+A_{13}\det\begin{bmatrix} A_{21}&A_{22}\ A_{31}&A_{32} \end{bmatrix}\ &=A_{11}A_{22}A_{33}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21} A_{32}-A_{13}A_{22}A_{31} \end{split}$$
3.9 伴随矩阵(Adjoint of a Matrix)
3.9.1 定义
对于$n\times n$的矩阵$\boldsymbol A$，定义另一个$n\times n$矩阵$\boldsymbol C$，使得
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\overline{\boldsymbol A}_{ij}
那么$\boldsymbol C$的转置矩阵称为$\boldsymbol A$的伴随矩阵，记为\boldsymbol A^*
\boldsymbol A^*=\boldsymbol C_A^T
3.9.2 举例
$$\begin{split} \boldsymbol A&=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix} \ \boldsymbol A^*&=\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix} \end{split}$$
3.9.3 基本运算
(\boldsymbol A^*)^T=(\boldsymbol A^T)^*(k\boldsymbol A)^*=k^{n-1}\boldsymbol A^*\boldsymbol{AA}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=\det(\boldsymbol A)\boldsymbol I
3.10 逆矩阵(Inverse of a Matrix)
3.10.1 定义
只有正方形矩阵有逆矩阵，对于一个$n\times n$的矩阵$\boldsymbol M$，定义它的逆矩阵为$\boldsymbol M^{-1}$，满足\boldsymbol{MM}^{-1}=\boldsymbol{M}^{-1}\boldsymbol{M}=\boldsymbol{I}
3.10.2 计算方法
\boldsymbol M^{-1}=\frac{\boldsymbol M^{*}}{\det(\boldsymbol A)}
3.10.3 正交矩阵
对于正交矩阵，根据定义有\boldsymbol M^{-1}=\boldsymbol M^{T}