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2025-03-08 16:13:39 +08:00
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 # 匀速贝塞尔曲线运动的实现

-二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点$P_0$, $P_1$, $P_2$，用$B(t)$表示该条曲线 
+贝塞尔曲线([Bézier curve](https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve))是一种常用的曲线，以最简单的二次贝塞尔曲线为例，通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点$P_0$, $P_1$, $P_2$，用$B(t)$表示该条曲线 
 $$
-\boldsymbol{B}(t)=(1-t)^2 \boldsymbol{P_0}+2t(1-t) \boldsymbol{P_1}+t^2 \boldsymbol{P_2}
+\boldsymbol{B}(t)=(1-t)^2 \boldsymbol{P_0}+2t(1-t) \boldsymbol{P_1}+t^2 \boldsymbol{P_2}, t\in[0, 1]
 $$  
 用一个动画来演示，可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程

@@ -17,7 +17,7 @@ $$
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 可以看出中间的点较为密集，而两边则较为稀疏。
-如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢？ 
+如何得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现NPC匀速在这条路径上运动？ 
 首先需要求得$B(t)$相对于$t$的速度公式$s(t)$
 $$
 s(t)=\sqrt{B_{x}^{'}(t)^2+B_{y}^{'}(t)^2}
@@ -44,21 +44,23 @@ L(t)&=\int_0^t\sqrt{Ax^2+Bx+C}dx\\
 &\quad+(B^2-4AC)\left[ln(B+2\sqrt{AC})-ln\left(B+2At+2\sqrt{A}\sqrt{At^2+Bt+C}\right)\right]\biggr)
 \end{aligned}
 $$  
-特别当$t=1.0$时，$L(1.0)$就是这条曲线的总长度。 
-设$t'$是能够使$L$实现匀速运动的自变量，那么此时曲线长度应该满足线性增长，也就是
+特别当$t=1.0$时，$L(1.0)$就是这条曲线的总长度。  
+设$u$是能够使$L(u)$实现匀速运动的自变量，那么此时曲线长度应该满足随着时间$t$线性增长，也就是
 $$
-L(t')=L(1.0)t\tag{1}
+L(u)=L(1.0)t\tag{1}
 $$  
-也就是$t'=L^{-1}(L(1.0)t)$，由于$L(t)$函数非常复杂，直接求其逆函数的解析解几乎不可能，还好我们知道它的导数为$s(t)$，在实际使用中，可以使用[牛顿切线法](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method)获得$t'$的数值解。  
-设$L_t=L(1.0)t$，视$t'$为未知数，根据公式1有以下方程
+也就是$u=L^{-1}(L(1.0)t)$，由于$L(t)$函数非常复杂，直接求其逆函数的解析解几乎不可能，还好我们知道它的导数为$s(t)$，在实际使用中，可以使用[牛顿切线法](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method)获得$u$的数值解。  
+视$u$为未知数，根据公式1有以下方程
 $$
-L(t')-L_t=0
+F(u)=L(u)-L(1.0)t=0
 $$  
-根据牛顿切线法，求解的迭代公式为:
+根据牛顿切线法，求解$u$的迭代公式为:
 $$
-t'_{n+1}=t'_n-\frac{L(t'_n)-L_t}{s(t'_n)}
+\begin{aligned}
+u_{n+1}&=u_n-\frac{F(u_n)}{F'(u_n)}\\&=u_n-\frac{L(u_n)-L(1.0)t}{s(u_n)}
+\end{aligned}
 $$  
-由于$t$和$t'$相差不大，可以设$t_0=t$来开始求解，以下是修正后的匀速贝塞尔曲线
+由于$t$和$u$相差不大，可以设$u_0=t$来开始求解，以下是修正后的匀速贝塞尔曲线

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