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jinchao
2025-04-09 23:19:02 +09:00
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docs/note/graphics/math/transform_01.md
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@@ -197,7 +197,7 @@ z_1z_2&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i
$$ $$
#### 3.4.2 四元数定义 #### 3.4.2 四元数定义
四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充。 四元数有1个实部，3个虚部，形式如下 四元数([Quaternion](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion))可以视为对复数的扩充，有1个实部，3个虚部，形式如下
$$ $$
q=s+xi+yj+zk q=s+xi+yj+zk
$$ $$
@@ -231,14 +231,14 @@ q_1-q_2&=[s_1-s_2,\quad \vec{v_1}-\vec{v_2}]\\
q_1q_2&=[s_1s_2-\vec{v_1}\cdot\vec{v_2},\quad s_1\vec{v_2}+s_2\vec{v_1}+\vec{v_1}\times\vec{v_2}] q_1q_2&=[s_1s_2-\vec{v_1}\cdot\vec{v_2},\quad s_1\vec{v_2}+s_2\vec{v_1}+\vec{v_1}\times\vec{v_2}]
\end{aligned} \end{aligned}
$$ $$
四元数的乘法满足满足结合律，但不满足交换律 四元数的乘法满足结合律，但不满足交换律
$$ $$
\begin{aligned} \begin{aligned}
(q_1q_2)q_3&=q_1(q_2q_3)\\ (q_1q_2)q_3&=q_1(q_2q_3)\\
q_1q_2&\neq q_2q_1 q_1q_2&\neq q_2q_1
\end{aligned} \end{aligned}
$$ $$
但如果$q_1,q_2$中的两个向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证 但如果$q_1,q_2$中的向量部分平行，由于$\vec{v_1}\times\vec{v_2}=0$，易证
$$ $$
q_1q_2=q_2q_1\quad(when\quad \vec{v_1}\parallel\vec{v_2}) q_1q_2=q_2q_1\quad(when\quad \vec{v_1}\parallel\vec{v_2})
\tag{3.4.3.1} \tag{3.4.3.1}
@@ -272,7 +272,7 @@ $$
(q_1q_2)^{-1}=q_2^{-1}q_1^{-1} (q_1q_2)^{-1}=q_2^{-1}q_1^{-1}
$$ $$
#### 3.4.5 四元数与向量 #### 3.4.5 四元数与向量
如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。设$q_v=[0,\vec{v}]$，那么 如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。记$q_v=[0,\vec{v}]$，那么
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
\lambda q_v&=[0, \lambda\vec{v}]\\ \lambda q_v&=[0, \lambda\vec{v}]\\
q_{u}\pm q_{v}&=[0, \vec{u}\pm\vec{v}] q_{u}\pm q_{v}&=[0, \vec{u}\pm\vec{v}]
@@ -305,7 +305,7 @@ $$\begin{aligned}
$$ $$
R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos(\theta)+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin(\theta)\tag{3.4.6.1} R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos(\theta)+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin(\theta)\tag{3.4.6.1}
$$ $$
设两个纯四元数$q_n, q_v$ 设两个纯四元数$q_n, q_{v2}$
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
q_n&=[0, \vec{n}]\\ q_n&=[0, \vec{n}]\\
q_{v2}&=[0, \vec{v_2}] q_{v2}&=[0, \vec{v_2}]
@@ -319,8 +319,7 @@ q_nq_{v2}&=[-\vec{n}\cdot\vec{v_2},\quad\vec{n}\times\vec{v_2}]\\
所以$q_nq_{v2}$是一个纯四元数 所以$q_nq_{v2}$是一个纯四元数
由于3.4.6.1中都是线性计算，将3.4.6.2和3.4.6.3代入其中，可以得到$R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)$的四元数形式 由于3.4.6.1中都是线性计算，将3.4.6.2和3.4.6.3代入其中，可以得到$R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)$的四元数形式
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)&=\vec{\boldsymbol{v}}_2\cos\theta+(\vec{\boldsymbol{n}}\times\vec{\boldsymbol{v_2}})\sin\theta\\ \quad[0, R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)]&= q_{v2}\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\
&= q_v\cos\theta+q_nq_{v2}\sin\theta\\
&=(\cos\theta+q_n\sin\theta)q_{v2}\\ &=(\cos\theta+q_n\sin\theta)q_{v2}\\
&=[\cos\theta, \vec{n}\sin\theta]q_{v2}\\ &=[\cos\theta, \vec{n}\sin\theta]q_{v2}\\
&=q(\theta, \vec{n})q_{v2} &=q(\theta, \vec{n})q_{v2}
@@ -340,7 +339,7 @@ $$
将3.4.6.4带入3.3.2.4中，可以得到罗德里格旋转公式的四元数形式为 将3.4.6.4带入3.3.2.4中，可以得到罗德里格旋转公式的四元数形式为
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=\vec{\boldsymbol{v}}_1+R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)\\ R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=\vec{\boldsymbol{v}}_1+R_n(\vec{\boldsymbol{v}}_2)\\
&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\ \quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=q_{v1}+q(\theta, \vec{n})q_{v2}\\
&=p\overline{p}q_{v1}+ppq_{v2} &=p\overline{p}q_{v1}+ppq_{v2}
\end{aligned}\tag{3.4.6.6} \end{aligned}\tag{3.4.6.6}
$$ $$
@@ -354,7 +353,7 @@ q_{v2}\overline{p}&=[0, \vec{v_2}][\cos\frac{\theta}{2},-\vec{n}\sin\frac{\theta
\end{aligned}$$ \end{aligned}$$
带入3.4.6.6，可以得到 带入3.4.6.6，可以得到
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
R_n(\vec{\boldsymbol{v}})&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\ \quad[0,R_n(\vec{\boldsymbol{v}})]&=pq_{v1}\overline{p}+pq_{v2}\overline{p}\\
&=p(q_{v1}+q_{v2})\overline{p}\\ &=p(q_{v1}+q_{v2})\overline{p}\\
&=pq_v\overline{p} &=pq_v\overline{p}
\end{aligned}\tag{3.4.6.7} \end{aligned}\tag{3.4.6.7}