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| 一道数学趣题 | 数学 |
一道数学趣题
在微博上看到一道很有意思的数学问题，原题是：如果椭圆游泳池有一英尺宽的边缘，问：边缘外围是否仍为椭圆？ 这个问题背后还有个八卦故事，数学家Steven Strogatz是非线性动力学大师级人物，广为人知的是他和自己的高中数学老师Don Joffray有着深厚的友谊，这位老师是把他带入数学殿堂的引路人，一次他在接受采访时，Strogatz讲到自己和这位老师的故事，他们即使在毕业后也一直保持着联系，一开始是他写信请教老师问题，但转折点就是这个“elliptical pool”问题，老师第一次被问住了，反而是他给老师解释，这令他激动不已。
有趣的问题就是这样，看起来足够简单，却要费一番脑筋才能想清楚。这里先定义一个概念，“一英尺宽的边缘”的数学含义，是指在椭圆的每个点的法线方向上扩展一定的长度，微博上另一位博主给出了一个很相像的动态图来描述，这里直接借用一下：
这个问题有两种解决思路，一种是纯粹从数学公式入手，这里给出一个解法，首先对于任意一个椭圆，用参数函数表达：
x=a\cos\theta,\quad
y=b\sin\theta,\quad
0\le\theta\le 2\pi
利用微分知识可知，对于平面上任意一个连续的曲线函数，如果其参数方程表达为x=x(t),y=y(t),那么在任意点$P_0$点处的法线方程可以表达为
\displaystyle{\frac{y-y_0}{x-x_0}=-\frac{x'(t_0)}{y'(t_0)}}
所以对于椭圆上任意一点(x_0,y_0),它的法线方程是
\displaystyle{\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}}
假设轮廓的宽度为K,那么椭圆上的点$(x,y)$对应的外廓的点$(x’,y’)$的方程为
\begin{cases}
x’&=\displaystyle{a\cos\theta+K\frac{b\cos\theta}{\sqrt{(b\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2}}}\\
y’&=\displaystyle{b\sin\theta+K\frac{a\sin\theta}{\sqrt{(b\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2}}}
\end{cases}\tag{1}
如果这个轮廓是一个椭圆的话，那么必然$(x’,y’)$满足椭圆方程
\displaystyle{(\frac{x’}{a+K})^2+(\frac{y’}{b+K})^2=1}\tag{2}
把公式1代入2中既可发现只有在$a=b$时公式才成立，所这个轮廓不是椭圆。
当然，如果只是想知道答案的话，可以不用这么麻烦，还有一种思路就是利用极端情况。设想一下这个椭圆极其“扁”，那么它的形状像是两条紧紧贴在一起的线段，不难想象，如果在这个椭圆外扩展一个宽度，那么新的轮廓的的上下边缘类似于两条分开的平行线段，但两端却无法平滑连在一起，这个形状类似于一个圆角的矩形，显然不是椭圆，下面是一个用Mathematica模拟的动态图
