106 lines
3.0 KiB
Markdown
106 lines
3.0 KiB
Markdown
# 数论（三）
|
||
---
|
||
|
||
## 9. Blum整数[Blum Integer](https://en.wikipedia.org/wiki/Blum_integer)
|
||
|
||
### 9.1 定义
|
||
如果有质数$p,q$，满足$p\equiv3\pmod4,q\equiv3\pmod4$,那么$n=pq$称为Blum整数
|
||
比如 21, 33, 57, 69, 77, 93, 129, 133, 141, 161, 177, 201, 209, 213, 217, 237, 249, 253, 301, 309, 321, 329, 341, 381, 393, 413, 417, 437, 453, 469, 473, 489, 497, ...
|
||
|
||
### 9.2 历史
|
||
以数学家[Manuel Blum](https://en.wikipedia.org/wiki/Manuel_Blum)命名
|
||
|
||
### 9.3 特性
|
||
设$n$是Blum整数
|
||
|
||
#### 9.3.1
|
||
由于$p=4k+3, \frac{p-1}{2}=2k+1$, 所以$L(-1,p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{2k+1}=-1$
|
||
所以
|
||
$$
|
||
J(-1,n)=L(-1,p)\times L(-1,q)=1
|
||
$$
|
||
|
||
推论：$J(a,n)=J(-a,n)$
|
||
举例：
|
||
$$\begin{split}
|
||
J(1,21)&=J(20,21)=1 \\
|
||
J(2,21)&=J(19,21)=-1 \\
|
||
J(4,21)&=J(17,21)=1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
J(10,21)&=J(11,21)=-1
|
||
\end{split}$$
|
||
|
||
#### 9.3.2
|
||
对于任意$y\in\mathbb{Z}_n^{*}$，如果$L(y,n)=1$，那么$y$和$-y$有一个属于$QR_n$，有一个属于$QNR_n$
|
||
举例：
|
||
满足$J(y,21)=1$的数有$\{\pm1,\pm4,\pm5\}$，其中$\{1,4,-5(16)\}$属于$QR_{21}$, $\{-1(20), -4(17), 5\}$属于$QNR_{21}$
|
||
|
||
#### 9.3.3
|
||
对于任意$y\in QR_n$，方程$x^2\equiv y\pmod{n}$有四个根$\pm u,\pm v$，这四个根满足以下组合
|
||
|
||
$$
|
||
\cases{
|
||
L(u,p)=1 \\
|
||
L(u,q)=1
|
||
}\cases{
|
||
L(-u,p)=-1 \\
|
||
L(-u,q)=-1
|
||
}\cases{
|
||
L(v,p)=-1 \\
|
||
L(v,q)=1
|
||
}\cases{
|
||
L(-v,p)=1 \\
|
||
L(-v,q)=-1
|
||
}
|
||
$$
|
||
|
||
其中有且仅有一个解$u\in QR_n$，
|
||
举例：
|
||
方程$x^2\equiv 4\pmod{21}$有四个解$\pm2(2,19), \pm5(5,16)$,
|
||
|
||
$$
|
||
\cases{
|
||
L(16,3)=1 \\
|
||
L(16,7)=1
|
||
}\cases{
|
||
L(5,3)=-1 \\
|
||
L(5,7)=-1
|
||
}\cases{
|
||
L(2,3)=-1 \\
|
||
L(2,7)=1
|
||
}\cases{
|
||
L(19,3)=1 \\
|
||
L(19,7)=-1
|
||
}
|
||
$$
|
||
|
||
#### 9.3.4
|
||
函数$f(x)=x^2\pmod{n}$是集合$QR_n$的一个置换，也就是说，对于任意$x\in QR_n, f(x)\in QR_n$，且$f(x)$和$x$一一对应
|
||
举例57=3x19：
|
||
|
||
| $x\in QR_{57}$ | 1 | 4 | 7 | 16 | 25 | 28 | 43 | 49 | 55 |
|
||
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
|
||
| $x^2\mod 57$ | 1 | 16 | 49 | 28 | 55 | 43 | 25 | 7 | 4 |
|
||
|
||
#### 9.3.5
|
||
对于任意$y\in QR_n$，方程$x^2\equiv y\pmod{n}$有四个根$\pm u,\pm v$，其中一对解$\pm u$,也就是$u,n-u$, 一定有一个是奇数，另一个是偶数，一个是在$[1,(n-1)/2]$区间，另一个在$[(n+1)/2, n-1]$区间
|
||
比如$x^2\equiv 16\pmod{21}$有四个解$(4,17), (10,11)$
|
||
|
||
#### 9.3.6
|
||
$\mathbb{Z}_n^*$被分成不相交且数量相等的四份，分别为$QR_n, (-1)QR_n, \xi QR_n,(-\xi)QR_n$，其中$\xi^2\equiv 1\pmod{n}$, 而且$L(\xi,n)=-1$
|
||
举例：
|
||
对于$n=21, \xi=8, \mathbb{Z}_{21}^*=\{1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20\}$,
|
||
$$\begin{split}
|
||
QR_{21}&=\{1,4,16\} \\
|
||
(-1)QR_{21}&=\{20, 17, 5\} \\
|
||
\xi QR_{21}&=\{8,32, 128\}\mod 21=\{8, 11, 2\}\\
|
||
(-\xi)QR_{21}&=\{13, 10, 19\}
|
||
\end{split}$$
|
||
|
||
#### 9.3.7
|
||
如果已知Blum整数$n$，方程$x^2\equiv a\pmod{n}$的四个解$\pm x_1, \pm x_2$, 那么可以推导出$n$的两个质数因子$\gcd(x_1+x_2,n),\gcd(x_1-x_2,n)$
|
||
|
||
举例：
|
||
如果已知方程$x^2\equiv16\pmod{21}$的四个解为$\pm4,\pm10$，那么$\gcd(10+4,21)=7,\gcd(10-4,21)=3$，所以可以推导出21的两个质因子为3和7
|
||
|