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title: "如何生成一个随机的圆形"
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tags: 数学 概率 程序 算法
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# 如何生成一个随机的圆形
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最近在工作中遇到这么一个问题：
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>在游戏场景中有一个怪物生成点，这个生长点产生的怪物均匀分布在半径为R的圆形内，这个随机算法应该如何生成？看起来很简单，随手写了一个：
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```cpp :no-line-numbers
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#define RAND ((float)rand()/RAND_MAX)
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void get_random_pos(float center_x, float center_y, float radius, float&x, float& y)
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{
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float u = RAND*radius;
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float v = RAND*2*PI;
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x = center_x + u*cos(v);
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y = center_y + u*sin(v);
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}
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```
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但写的过程中，直觉告诉我，这么写肯定是有问题的，试想，如果以北京为例，如果北京的人口是均匀分布的，那么如果让所有人都报出自己家和天安门的距离，那么这些数据肯定不是均匀，因为居住在五环附近的人数肯定要大于居住在二环附近的人数，于是用Mathamatica实验一下：
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果然，这么写是不对的，网上查了一下，这个问题还真是有人研究过，说应该把所获得的随机数开平方一下，实验一下：
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但是，这个开平方背后的数学原理究竟是什么呢？抽空翻了下概率书，原来，其中的道理并不复杂，这里涉及到概率里的一个基本概念，累计分布函数（Cumulative distribution function），简称CFD，它的定义如下：
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设有一个随机变量$X$，它的取值范围是从负无穷到正无穷，如果把它的值小于$x$的概率表达为一个函数$F(x)$，那么这个函数就称为$X$的累计分布函数
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$$
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\displaystyle{F(x)=P(X\leq x)}
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$$
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以最为常见的均匀分布概率为例，设均匀分布的随机变量$X$的取值范围是$[a,b]$，那么它的累计分布函数以及函数图像是
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<table align="center" class="invisibletable">
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<tbody>
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<tr>
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<td style="vertical-align:middle; border:0px;">
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$$
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F(x)=\begin{cases}
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0 & {x < a} \\
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\frac{x-a}{b-a} & {a\leq x < b}\\
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1 & {b\leq x}
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\end{cases}
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$$
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</td>
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<td style="vertical-align:middle; border:0px;">
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<img src="/images/2015/05/rnd_03.gif">
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</td>
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</tr><tr>
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</tr></tbody>
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</table>
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对于一个累计分布函数，符合以下规律
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* $0\le F(x)\le 1$
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* $F(x)$单调递增
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* $\lim\limits_{x \to -\infty}{ F(x)=0} , \lim\limits_{x \to +\infty}{ F(x)=1}$
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回到我们的问题中，假设怪物产生的范围的半径为$R$，随机产生一只怪物时，它和中心的距离是一个随机变量$X$，显然，对于怪物均匀分布的情况，$X$落在半径为$x$的圆内的概率，等于半径为$x$小圆和半径为$X$的大圆的面积之比
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也就是说
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$$
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F(x)=P(X\leq x)=x^2/R^2
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$$
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现在我们手头上只有均匀概率的随机数产生器，要想产生这么个随机数需要用到一个很巧妙的运算，就是反函数。设随机变量$u$是一个均匀分布在$[0,1]$之间的随机数，另一个随机变量$X=F−1(u)$,现在我们需要证明X的累计分布函数是$F(x)$
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证明如下
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$$
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\begin{aligned}
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P(X\le x) & = P(F^{-1}(u)\le x) \\
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& = P(u\le F(x)) \\
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& = F(x)
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\end{aligned}
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$$
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初看起来有点复杂，其实在下面的图上可以很直观的理解这个过程：
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这是利用了$F(x)$是单调递增函数的特性，在我们的问题中，$F(x)$的反函数可以表达为
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$$
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F^{-1}(u)=R\sqrt{u}
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$$
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所以最终的算法可以写成
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```cpp :no-line-numbers
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#define RAND ((float)rand()/RAND_MAX)
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void get_random_pos(float center_x, float center_y, float radius, float&x, float& y)
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{
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float u = sqrt(RAND)*radius;
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float v = RAND*2*PI;
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x = center_x + u*cos(v);
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y = center_y + u*sin(v);
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}
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``` |